3. Прямой, обратный и дополнительный двоичные коды

В компьютерной арифметике, которая базируется на двоичной системе счисления, операция «вычитания» заменяется операцией «сложения».

Рассмотрим, как это происходит.

Для хранения целых чисел в памяти ЭВМ выделяется фиксированное число двоичных разрядов – бит. Рассмотрим 8 – и битовое представление числа. Каждый бит нумеруется «слева – направо» от 0 до 7.

вес разряда

нумерация бит в байте

26

25

24

23

22

21

2 0

7 6 5 4 3 2 1 0

Старший бит – седьмой – используется для знака числа: 0 – это положительное число, 1 – отрицательное.

Если в 6-и разрядах байта поместить абсолютное значение числа, а в 7-ом бите установить его знак (0 или 1), то полученное представление числа называется прямым двоичным кодом.

Если в прямом коде число представлено как отрицательное (7-ой бит равен 1), то в числе инвертируются ² все разряды, кроме знакового. Такое представление числа называется обратный двоичный код.

После прибавления к обратному коду 1 получается дополнительный двоичный код.

Использование дополнительного двоичного кода позволяет создавать схемы, выполняющие вычитание, умножение и деление посредством операции сложения.

Рассмотрим на примерах операцию вычитания для 8-и битовых чисел.

ПРИМЕР1: Вычесть число 3 из 5 (101₂ – 011₂).

• Запишем абсолютное значение числа -3 в байте

0

0

0

0

0

0

1

1

• В знаковый – седьмой – бит запишем признак отрицательности числа 1 и получим прямой двоичный код числа -3.

1

0

0

0

0

0

1

1

• Инвертируем все разряды в числе, кроме знакового

1

1

1

1

1

1

0

0

Получим обратный двоичный код числа -3.

• Прибавим к обратному коду единицу

1

1

1

1

1

1

0

1

Получим дополнительный двоичный код числа -3.

• Сложим число 5 и дополнительный двоичный код числа -3

Получили число 010₂ = 2₁₀.

Ответ: 101₂ – 011₂ = 010₂

Проверка: Сделаем проверку, преобразуя двоичные числа к десятичному виду:

5₁₀ – 3₁₀ = 2₁₀

ПРИМЕР2: Вычесть число 49 из 63

• Прямой двоичный код числа -49

1

0

1

1

0

0

0

1

• Инверсный код числа -49

1

1

0

0

1

1

1

0

• Дополнительный код числа -49

1

1

0

0

1

1

1

1

• Сложим число 63 и дополнительный код числа -49

Получили число 1110₂ = 14₁₀

Ответ: 11 1111₂ – 11 0001₂ = 1110₂

Проверка: 63₁₀ – 49₁₀ = 14₁₀

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Используя схемы примера 1 или 2, сделайте вычитание целых чисел, используя дополнительный двоичный код.

Номер варианта	Число	Номер варианта	Число
1	81 и 17	9	64 и 32
2	42 и 18	10	51 и 28
3	42 и 36	11	92 и 48
4	61 и 28	12	67 и 29
5	74 и 28	13	82 и 29
6	62 и 39	14	53 и 29
7	43 и 28	15	83 и 38
8	78 и 49	16	68 и 29

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 2. Используя схемы примера 1 или 2, сделайте вычитание целых чисел, используя дополнительный двоичный код.

Номер варианта	Число	Номер варианта	Число
1	74 и 32	19	91 и 16
2	61 и 28	20	52 и 19
3	82 и 48	21	72 и 36
4	57 и 19	22	41 и 28
5	52 и 29	23	84 и 29
6	73 и 39	24	52 и 33
7	93 и 58	25	41 и 28
8	38 и 29	26	68 и 49
9	75 и 36	27	81 и 27
10	81 и 43	28	43 и 28
11	56 и 19	29	91 и 12
12	61 и 23	30	52 и 19
13	72 и 53	31	61 и 48
14	81 и 43	32	63 и 38
15	41 и 29	33	72 и 35
16	74 и 38	34	63 и 36
17	81 и 49	35	54 и 29
18	91 и 52	36	62 и 27