АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Лабораторный практикум

Для студентов очной формы обучения по всем специальностям

Новосибирск 2005

Введение

Лабораторный практикум по теме «Системы счисления» предназначен для проведения практических занятий с целью получения основных понятий о том, как происходят вычислительные операции в ЭВМ.

В лабораторном практикуме содержатся основные определения о системах счисления, их видах и назначениях. Разбирается, как образуются целые числа в позиционных системах счисления. Приведены таблицы соответствия между числами в различных позиционных системах счисления. Даны правила перевода между системами счисления. Показано, как происходят операции сложения, вычитания, умножения и деления в позиционных системах счисления.

После разбора каждой темы студентам предлагается выполнить самостоятельную работу по вариантам (вариант соответствует номеру компьютера).

Защита лабораторной работы выполняется в виде индивидуального задания и ответа на контрольные вопросы.

Для ответов на контрольные вопросы необходимо прочитать соответствующую литературу.

Самостоятельные и индивидуальные работы выполняются аналогично разобранным примерам, т.е. содержат схемы перевода, вычислений и проверку¹.

Индивидуальные задания оформляются средствами текстового процессора Word и содержат титульный лист, текст задания и решение.

Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам, с помощью символов некоторого алфавита.

Символы алфавита, который используется для записи чисел, называются цифрами.

Системы счисления разделяются на две большие группы:

• позиционные

• непозиционные

1. Непозиционные системы счисления

Самой распространенной из непозиционных систем счислении является римская. Мы пользуемся ею для обозначения юбилейных дат, для нумерации страниц книги (например, страниц предисловия), глав в книгах, строф в стихотворениях и т.д.

В этой системе в качестве цифр используются некоторые буквы. В настоящее время римские цифры выглядят так:

I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000

Значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в числе XXX цифра X встречается трижды, и в каждом случае обозначает 10. Само число XXX означает 30.

Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность чисел.

Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа – прибавляется.

Например, 1998 = 1000 + (1000 – 100) + (100 – 10) + 5 + 1 + 1 + 1 = M CM XC V I I I

Подряд одна и та же цифра ставится не более 3-х раз. Например, если число 80 = LXXX, то 90 записывается как XC, а не LXXXX.

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ: Запишите в римской системе счисления следующие числа.

Номер варианта	Число	Номер варианта	Число
1	140	9	567
2	456	10	432
3	376	11	457
4	895	12	345
5	987	13	843
6	389	14	743
7	983	15	542
8	976	16	562

2. Позиционные системы счисления

Позиционные системы счисления используются для счета.

В позиционных системах счисления величина числа зависит от позиции цифры в числе. Например, в десятичной системе счисления числа 58 и 85 не равны, хотя содержат одни и те же цифры.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

основание позиционной системы счисления – это количество различных знаков или символов, которые используются для изображения цифр в данной системе счисления.

Основание системы счисления 10 2 8 16

Цифры, используемые в системе счисления 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F

В принципе основанием системы счисления может быть любое натуральное число – два, три, четыре. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем счисления: двоичная, троичная, четверичная и т.д.

Закономерность построения позиционных чисел имеет математическое представление.

Введем обозначения:

q – основание системы счисления;

a_i – любая цифра из множества цифр, принятых в данной системе счисления;

i – индекс, который обозначает номер позиции, занимаемой цифрой в числе.

Позицию для целых чисел обозначим номерами 1,2,…, n, а позиции в правильных дробях – номерами -1, -2,…, -m.

Тогда любое число А в произвольной позиционной системе счисления с основанием q можно записать следующим образом:

A_n = a_n-1q ^n-1 + a_n-2 + … + a₁q ¹ + a₀q ⁰ + a _-1q ^-1 + … + a _{– m}q ^-m , (1)

где a_i удовлетворяет неравенству

и принимает в этом диапазоне только целые значения,

q называется весом i – го разряда.

Для десятичной системы счисления понятие веса разряда соответствует названиям позиций – единицы, десятки, сотни, десятые доли, сотые доли и т.д.

ПРИМЕР:

Для десятичной системы счисления

Разряды 3 2 1 0

Число 2 1 2 4₁₀ = 2 х 10³ + 1 х 10² + 2 х 10¹ + 4 х 10⁰

Для двоичной системы счисления

Разряды 3 2 1 0 -1

Число 1 0 0 1, 1 ₂ = 1 х 2³ + 0 х 2² + 0 х 2¹ + 1 х 2 ⁰ + 1 х 2^-1

Для восьмеричной системы счисления

Разряды 3 2 1 0 -1 -2

Число 3 0 5 2, 4 1 ₈ = 3 х 8³ + 0 х 8² + 5 х 8¹ + 2 х 8 ⁰ + 4 х 8^-1 +1 х 8^-2