7.6. Фильтрация Калмана

В отличие от предыдущих подразделов, где определялись характеристики оптимальных линейных фильтров (частотный коэффициент передачи, импульсная характеристика), рассмотрим другой способ задания оптимальных фильтров, а именно, с помощью дифференциальных уравнений.

Будем рассматривать линейную фильтрацию, когда наблюдаемый процесс на входе фильтра задается уравнением

(7.32)

где полезное сообщение определяется дифференциальным уравнением

(7.33)

В теории фильтрации уравнение (7.32) называется уравнением наблюдения, а стохастическое дифференциальное уравнение (7.33) - уравнением сообщения. В этих уравнениях - известная функция времени, т.е. несущее колебание. Тогда представляет собой полезный передаваемый сигнал; - нормальный белый гауссовский шум с нулевым средним и односторонней спектральной плотностью S. В свою очередь гауссов белый шум также с нулевым математическим ожиданием и односторонней спектральной плотностью .В литературе процесс называется порождающим процессом. Действительно, из уравнения (7.33) следует, что сообщение представляет собой отклик линейной цепи, в данном случае интегрирующей RC-цепи, при воздействии на ее вход стационарного белого шума . Коэффициент в уравнении (7.33) представляет собой параметр RC-цепи:

Таким образом, сообщение формируется из белого шума линейной цепью. При этом сообщение также будет представлять собой гауссов процесс с корреляционной функцией

В качестве уравнения сообщения могут использоваться и другие виды стохастических линейных дифференциальных уравнений.

В более общем случае полезное сообщение может описываться системой стохастических дифференциальных уравнений. Чтобы упростить изложение понятия калмановской фильтрации, используем конкретный частный вид уравнения сообщения (7.33).

Критерием оптимальности линейного фильтра, как и в п. 7.5, служит минимум среднеквадратической ошибки оценивания

или, что эквивалентно, некоррелированность ошибки оценивания и наблюдаемого колебания (7.32). На основе уравнений наблюдения (7.32) и сообщения (7.33) и с учетом указанного критерия можно вывести следующие дифференциальные уравнения (см.[5, гл. 4]):

(7.34)

(7.35)

Дифференциальные уравнения (7.34) и (7.35) называются уравнениями фильтра Калмана в непрерывном времени. Первое уравнение (7.34) описывает алгоритм формирования оценки , т.е. задает структурную схему оптимального фильтра. Второе уравнение (7.35) задает эволюцию дисперсии ошибки оценивания.

Структурная схема фильтра, соответствующая уравнению (7.34), показана на рис. 7.5. Рассмотрение схемы фильтра удобно начинать с интегратора. Для этого обозначим слагаемые в правой части уравнения (7.34) через и . Правая часть уравнения (7.34) в этом случае будет , а само уравнение . Поэтому, если на вход интегратора подается колебание , то на его выходе получаем оценку сообщения . Колебание формируется с помощью генератора несущего колебания , двух умножителей, сумматора и усилителя с коэффициентом усиления . Второе колебание формируется усилителем с коэффициентом усиления , на вход которого подается колебание, соответствующее оценке .

В случае дискретного времени уравнения наблюдения и сообщения запишутся в виде разностных уравнений. Уравнение наблюдения:

(7.36)

где - дискретный белый гауссов шум с нулевым математическим

Рис. 7.5. Схема фильтра Калмана (непрерывное время)

ожиданием и дисперсией . Здесь - интервал дискретизации. Другими словами - последовательность независимых нормально распределенных случайных величин с указанными характеристиками, причем, если исходить из процессов уравнения (7.32), то

Аналогично

и

Дискретным аналогом уравнения сообщения будет:

(7.37)

где

- последовательность независимых нормально распределенных случайных величин (дискретный белый шум) с нулевым математическим ожиданием и одинаковыми дисперсиями

Начальное значение является нормальной случайной величиной или может представлять собой детерминированную величину.

На основе уравнений (7.36) и (7.37) приходим к следующим уравнениям фильтра Калмана в дискретном времени:

(7.38)

(7.39)

где дисперсия ошибки оценивания.

Структурная схема фильтра Калмана, соответствующая уравнениям (7.38) и (7.39), показана на рис. 7.6.

Следует заметить, что как в уравнение (7.35), так и в уравнение (7.39) входят известные функции и величины. Эти уравнения не зависят от наблюдаемого колебания . Поэтому они могут быть решены заранее, до начала работы фильтров. Особенностью рассмотренных фильтров является то, что они выполняют фильтрацию рекуррентным способом, т.е. обрабатывают информацию по мере ее поступления. Такой алгоритм работы удобен при его реализации на современных ЭВМ или при помощи микропроцессоров.

Рис. 7.6. Схема фильтра Калмана (дискретное время)

В заключение рассмотрим вопрос применения фильтрации Калмана при комплексировании (объединении) радиотехнических систем. Это позволяет повысить точность фильтрации вследствие увеличения общего числа измерений за счет увеличения числа одновременно измеряемых координат векторного процесса. Например, при определении местоположения воздушного судна целесообразно одновременно измерять его положение и скорость (комплексирование радиодальномера и доплеровского измерителя скорости) или координату и ускорение (комплексирование дальномера с инерциальной системой навигации).

Задача комплексирования решается на основе многомерной линейной фильтрации. В этом случае уравнение сообщения описывается линейным дифференциальным уравнением выше первого порядка или системой линейных дифференциальных уравнений. Рассмотрим второй случай, когда передаваемое сообщение задается системой линейных стохастических дифференциальных уравнений

(7.40)

которую удобно записать в виде векторно-матричного уравнения

где вектор-столбец сообщения размерности , т.е. (т - означает транспонирование); матрица размера коэффициентов ; вектор-столбец формирующих белых шумов с нулевыми средними и матричной корреляционной функцией

,

где - симметричная матрица деленных пополам спектральных интенсивностей; - дельта-функция.

Уравнение наблюдения также запишется в векторно-матричном виде:

где вектор-столбец наблюдений размерности m (m - число каналов наблюдения); матрица наблюдений размера m n; вектор-столбец размерности m белых шумов с нулевым средним и матричной корреляционной функцией

где S - симметричная размера матрица спектральных интенсивностей, деленных на два.

В этих предположениях линейный фильтр Калмана описывается следующими уравнениями:

(7.41)

(7.42)

где - корреляционная матрица ошибок фильтрации.

Рассмотрим простейший пример комплексирования измерителя координаты движущего объекта и измерителя его скорости. При этом в качестве системы уравнений (7.40) примем^* :

где и координата объекта и его скорость соответственно; - гaуссов белый шум с нулевым средним и двухсторонней спектральной плотностью .

Пусть одновременно измеряется координата объекта и его скорость. Тогда уравнения наблюдения можно записать в виде:

где и - стохастически независимые гауссовские белые шумы, имеющие нулевые математические ожидания и двусторонние спектральные интенсивности и .

Рассматриваемый здесь пример является частным случаем многомерной линейной фильтрации при . Его решение можно записать на основе уравнений (7.41) и (7.42), если в них положить:

В этом случае из выражения (7.41) получаем систему из двух уравнений, описывающих алгоритм оптимальной фильтрации:

(7.43)

Из выражения (7.42) получаем уравнения для взаимных корреляций:

(7.44)

Система этих уравнений легко разрешается для стационарных значений взаимных корреляций при . В этом случае полагаем:

При этом система (7.44) переходит в систему алгебраических квадратных уравнений и ее решение запишется в виде:

(7.45)

где

Если положить, что в канале скорости низкий уровень шумов и , то из соотношений (7.45) находим:

Подставляя найденные значения взаимных корреляций в первое уравнение из (7.43), получим

(7.46)

Из выражения (7.46) видно, что при малых шумах в канале скорости для получения оценки нет необходимости в оптимальной фильтрации . В уравнение (7.46) входит непосредственно сигнал . Это является очевидным следствием того, что в соответствии с уравнением наблюдения в канале скорости и при малом уровне шума . Поэтому необходимость в оптимальной обработке наблюдения отпадает.

Рис. 7.7. Фильтрация координаты движущегося объекта

Структурная схема оптимального фильтра для оценки координаты движущегося объекта при совместном измерении его координаты и скорости показана на рис. 7.7.