7.5. Оптимальная фильтрация стационарных случайных сигналов

Наряду с оптимальной линейной фильтрацией сигнала известной формы на фоне аддитивной помехи большое количество задач оптимального приема связано с выделением полезного сигнала, представляющий собой некоторый случайный процесс, вид реализации которого заранее не известен. Такие задачи характерны для радиосвязи, телевидения. Рассмотрим решение заданной проблемы для стационарных сигналов.

Пусть на интервале времени принята реализация аддитивной смеси полезного сигнала и помехи , представляющих собой центрированные стационарные в широком смысле случайные процессы. Предположим, что известны корреляционные функции и сигнала и помехи соответственно. Принятое колебание подается на вход линейного стационарного фильтра с импульсной характеристикой . На выходе получаем отклик , который будем называть оценкой случайного сигнала по наблюдаемой реализации .

Если рассматривать оценку как функционал^* от то при получаем задачу фильтрации сигнала, при получаем задачу интерполяции сигнала и при приходим к задаче экстраполяции или прогнозированию сигнала.

Колебание подается на вход линейного фильтра, поэтому в качестве оценки сигнала принимается линейный функционал

Необходимо среди всех возможных линейных фильтров найти такой, чтобы средний квадрат ошибки оценивания был минимальный, т.е.

(7.16)

где - ошибка оценивания.

Поскольку по предположению процессы и центрированы, то средний квадрат ошибки совпадает с ее дисперсией. Поэтому критерий (7.16) называют еще критерием минимума дисперсии ошибки.

Рассмотрим решение данной задачи в предположении, что сигнал и помеха некоррелированы. Причем, положим вначале, что принятое колебание заданно на всей числовой оси, т.е. . В этом случае дисперсия ошибки оценивания

Поскольку вследствие некоррелированности сигнала и помехи

и

где взаимная корреляционная функция процесса и сигнала , то дисперсия ошибки оценивания

(7.18)

Обозначим через импульсную характеристику оптимального согласно критерию (7.16) линейного фильтра и покажем, что она должна удовлетворять интегральному уравнению

(7.19)

или, с учетом выражения (7.17),

(7.19а)

Для этого подставим выражение (7.19) в формулу (7.18):

(7.20)

В правой части соотношения (7.20) неизвестную функцию содержит только последнее слагаемое. Необходимо подобрать такую неизвестную импульсную характеристику , чтобы дисперсия была минимальной. Поскольку корреляционная функция является положительно определенной, то минимум будет достигнут при равенстве нулю последнего слагаемого. Это возможно при , что и доказывает справедливость соотношения (7.19).

Обозначим через ошибку оценивания сигнала при оптимальной линейной фильтрации. Тогда с учетом того, что сигнал на выходе оптимального фильтра

находим

или, учитывая выражение (7.19),

(7.21)

Таким образом, процессы и некоррелированны. Соотношение (7.21) выражает так называемый принцип ортогонального проецирования, являющийся необходимым и достаточным условием оптимальной линейной функции. Действительно, если бы имела место корреляция между ошибкой и принимаемым колебанием, то при последующей обработке последнего можно было бы учесть эту дополнительную информацию и получить лучшую оценку . Однако этого не может быть, так как по определению фильтр оптимальный согласно критерию (7.16). Кстати, используя соотношение (7.21), можно получить интегральное уравнение (7.19), которому удовлетворяет импульсная характеристика оптимального фильтра [7, с. 230-231]. В литературе это уравнение получило название уравнения Винера-Хопфа.

Из выражения (7.20) находим минимальную дисперсию ошибки оптимального линейного фильтра при :

(7.22)

Следовательно, минимальная дисперсия ошибки равна разности дисперсий оцениваемого сигнала и оценки.

Интегральное уравнение (7.19), как и (7.19а), представляет собой свертку, поэтому применяя, например, к обеим частям уравнения (7.19а) преобразование Фурье, получаем в частотной области

(7.23)

где и - спектральные плотности мощности сигнала и помехи соответственно; частотный коэффициент передачи оптимального фильтра.

Из выражения (7.23) находим коэффициент передачи оптимального линейного фильтра:

(7.24)

Формула (7.24) дает выражение для частотного коэффициента передачи физически не реализуемого оптимального линейного фильтра. Такой фильтр осуществляет обработку колебания , используя не только все прошлые его значения до момента , но и все будущие (из предположения, что задано на всей числовой оси от до ). Поскольку правая часть формулы (7.24) содержит действительные величины, то представляет собой АЧХ оптимального фильтра. Фазовая характеристика при этом тождественно равна нулю.

Используя рассмотренную ранее (см. разд. 4) теорему Винера-Хинчина, соотношение (7.22) можно переписать так:

Подставляя в полученное выражение формулу 7.24 для частотного коэффициента передачи , получаем:

Из последнего соотношения следует, что дисперсия ошибки оценивания равна нулю при . Это так называемый сингулярный случай, когда спектры сигнала и помехи не перекрываются. А это возможно лишь в том случае, когда спектры и на некоторых интервалах частот тождественно равны нулю. При этом частотный коэффициент передачи оптимального фильтра отличается от нуля только в той области частот, где расположен спектр сигнала и отсутствуют гармонические составляющие помехи.

Рассмотрим особенности построения физически реализуемого оптимального линейного фильтра, т.е. положим: , а . В этом случае линейная оценка сигнала имеет вид:

Интегральное уравнение (7.19) для нахождения импульсной характеристики оптимального физически реализуемого фильтра перепишется в виде:

или

(7.25)

Обозначим левую часть уравнения (7.25) функцией , а ее преобразование Фурье - через . Тогда

(7.26)

Предположим, что представляет собой рациональную функцию

где и - полиномы от порядка и соответственно (обычно n<m).

Процесс c рациональным спектром можно получить на выходе физически реализуемого линейного фильтра с частотной характеристикой , для которой выполняется условие

(7.27)

где * обозначает комплексное сопряжение.

На вход такого фильтра воздействует процесс типа белого шума с единичным уровнем спектральной плотности.

Подставим выражение (7.27) в формулу (7.26) и разделим обе ее части на . Получим:

(7.28)

Представим первое слагаемое в правой части выражения (7.28) в виде суммы сопряженных функций:

(7.29)

Здесь первое слагаемое содержит полюса в левой полуплоскости, а в правой. соответствует частотной характеристике физически реализуемого фильтра. Объединяя выражения (7.28) и (7.29), получаем:

(7.30)

Поскольку левая и правая части выражения (7.30) регулярны соответственно в левой и правой полуплоскостях комплексной плоскости, то равенство будет выполняться лишь при тождественном равенстве нулю обеих частей. Отсюда находим комплексный коэффициент передачи оптимального физически реализуемого фильтра:

(7.31)

Применяя обратное преобразование Фурье к правой части выражения (7.31), находим импульсную характеристику оптимального физически реализуемого фильтра.

Таким образом, практическое определение оптимального физически реализуемого фильтра сводится к факторизации спектра аддитивной смеси полезного сигнала и помехи по формуле (7.27) и разложении функции на сумму сопряженных функций в соответствии с формулой (7.29). В этом случае оптимальный физически реализуемый фильтр, согласно формуле (7.31), представляет собой последовательное соединение "обеляющего" фильтра с передаточной функцией , на выходе которого получаем белый шум, и оптимального фильтра с передаточной функцией (рис. 7.4).

Рис. 7.4. Структура оптимального физически реализуемого линейного фильтра

В заключение отметим следующее. Оптимальный линейный фильтр строится исходя из некоррелированности процесса наблюдения и ошибки оценивания (см. формулу (7.21)), но только для гауссовых процессов понятия некоррелированности и стохастической независимости совпадают. Поскольку корреляция характеризует линейные связи, то линейная фильтрация является оптимальной процедурой лишь для гауссовых процессов. Для негауссовых же процессов некоррелированность не означает, что отсутствует стохастическая зависимость, т.е. имеются связи более высокого порядка, чем линейные. Эту дополнительную информацию можно учесть при нелинейной обработке. Поэтому для негауссовых процессов оптимальными в общем случае будут нелинейные фильтры.