7.4. Линейная оптимальная фильтрация по критерию максимума отношения сигнал/шум

Если линейный фильтр в соответствии с заданным критерием обрабатывает аддитивную смесь сигнала и шума наилучшим образом, то такой линейный фильтр называется оптимальным. В этом подразделе рассмотрим оптимальную линейную фильтрацию сигналов известной формы. Такая ситуация характерна для радиолокации, где принятый сигнал является точной масштабной копией переданного сигнала.

Пусть на вход линейного стационарного фильтра с импульсной характеристикой воздействует сумма полезного сигнала и шума. На выходе линейного фильтра полезный сигнал создает отклик

Попытаемся отыскать такую импульсную характеристику , чтобы величина , определяемая значением отклика фильтра в точке , достигала максимально возможного значения. Фильтр с такой импульсной характеристикой называется согласованным с заданным входным сигналом или кратко согласованным фильтром.

Таким образом, необходимо отыскать такую импульсную характеристику , чтобы отклик на выходе в момент времени

(7.8)

достигал максимально возможного значения по модулю. Применим к правой части выражения (7.8) известное неравенство Шварца-Буняковского в интегральной форме:

Получим:

(7.9)

Знак равенства в выражении (7.9) достигается в том случае, когда подынтегральные функции пропорциональны друг другу, т.е.

(7.10)

где - произвольный числовой коэффициент. Тогда, используя в выражении (7.10) замену переменной , получаем, что модуль правой части выражения (7.8) достигнет максимума при

Рис. 7.1. Импульсная характеристика фильтра

Следовательно, импульсная характеристика согласованного фильтра представляет собой масштабную копию входного сигнала, расположенную в зеркальном порядке на оси времени (рис. 7.1).

Как видно из рис 7.1, чтобы импульсная характеристика удовлетворяла условию физической реализуемости, т.е. =0 при t<0, необходимо, чтобы выполнялось неравенство

Применяя преобразование Фурье к обеим частям соотношения (7.10), находим частотный коэффициент передачи согласованного фильтра

(7.11)

где спектральная плотность, комплексно сопряженная со спектральной плотностью входного сигнала .

Таким образом, частотный коэффициент передачи согласованного фильтра выражается через спектральную плотность полезного сигнала , для выделения которого из шума и предназначен фильтр. В формуле (7.11) коэффициент k определяет уровень усиления фильтра, а множитель определяет смещение отклика фильтра по оси времени на время .

Особенностью согласованного фильтра является то, что при формировании отклика на своем выходе им используется как информация об амплитудно-частотном спектре входного сигнала, так и его фазово-частотный спектр. Фильтр с малым ослаблением должен пропускать лишь гармонические компоненты, частоты которых расположены в области, где спектральная плотность полезного сигнала отличается от нуля. Кроме того, фильтр выполняет коррекцию фазовых сдвигов гармонических составляющих входного сигнала таким образом, что в момент все эти гармонические составляющие складываются на выходе когерентно, имея одни и те же фазовые сдвиги. Тем самым отклик на выходе фильтра в момент достигает максимально возможного уровня

(7.12)

где энергия полезного выделяемого сигнала .

Из выражения (7.12) следует, что максимальное значение отклика согласованного фильтра не зависит от формы сигнала, а определяется его энергией.

Найдем отношение сигнал/шум на выходе фильтра, определяемое как отношение пикового значения мощности выходного сигнала в момент к средней мощности выходного шума:

Для определенности положим, что шум представляет собой стационарный белый гауссов шум с равномерным спектром мощности уровня на всей числовой оси. В этом случае дисперсия шума на выходе

Тогда, учитывая полученный результат и формулу (7.12), находим:

Рис. 7.2. Прямоугольный видеоимпульс и напряжения на выходе отдельных элементов согласованного фильтра

Таким образом, согласованный фильтр обеспечивает на выходе максимально достижимое отношение сигнал/шум и в этом смысле он является оптимальным.

Перейдем теперь к вопросам синтеза согласованных фильтров. Для этого рассмотрим конкретный пример построения согласованного филь-тра для прямоугольного видеоимпульса (рис. 7.2).

Положим, что импульс возникает в момент времени , имеет длительность и амплитуду А. Найдем спектральную плотность такого сигнала:

(7.13)

Найдем частотный коэффициент передачи фильтра в предположении, что на его выходе максимум отклика достигает в момент , т.е. . В соответствии с формулой (7.11) и с учетом (7.13), находим:

(7.14)

Рис. 7.3. Согласованный фильтр

Выражение (7.14) позволяет синтезировать искомый согласованный фильтр (рис. 7.3). Он состоит из идеального видеоусилителя с коэффициентом усиления , интегратора, которому в частной области соответствует умножение на (см. формулу (7.14)), линии задержки на время и вычитающего устройства. На вычитающее устройство в соответствии с формулой (7.14) подается напряжение по двум каналам: непосредственно с интегратора и через линию задержки. На выходе согласованного фильтра получаем сигнал треугольной формы высотой и длительностью :

где энергия прямоугольного видеоимпульса .

Для некоторых простых по форме сигналов с небольшой базой удается добиться приемлемых результатов при их линейной фильтрации более простыми в конструктивном исполнении фильтрами по сравнению с оптимальными. Такие фильтры называют квазиоптимальными, т.е. фильтрами, близкими по характеристикам к оптимальным.

Рассмотрим простую интегрирующую RC-цепочку с импульсной характеристикой где - постоянная времени цепи. Пусть на вход такой цепи воздействует сумма полезного сигнала в виде прямоугольного видеоимпульса (см. рис. 7.2) и гауссов белый шум со спектральной плотностью мощности . В этом случае отклик на воздействие полезного сигнала достигает максимума при . Таким образом, используя формулу (7.8) при , находим:

Частотный коэффициент передачи интегрирующей RC-цепи .

Поэтому, с учетом формулы (7.7), дисперсия шума на выходе будет:

Отсюда максимальное значение отношения сигнал/шум на выходе RC-цепи:

(7.15)

где в последнем равенстве учтено, что - энергия прямоугольного видеоимпульса.

Как следует из предыдущих результатов, первый сомножитель правой части соотношение (7.15) равен максимальному отношению сигнал/шум на выходе согласованного фильтра, а второй сомножитель характеризует проигрыш в отношении сигнал/шум интегрирующей RC-цепи по сравнению с согласованным фильтром, приведенным на рис. 7.3. Второй сомножитель достигает максимума при , равного 0,814. Таким образом, при соответствующем выборе постоянной времени RC-цепи получим, что интегрирующая RC-цепь при фильтрации прямоугольного видеоимпульса на фоне шума проигрывает в эффективности (в смысле отношения сигнал/шум на выходе) всего лишь на 18,6 %. Именно RC-цепь с такими характеристиками и будет квазиоптимальным согласованным фильтром для прямоугольного видеоимпульса.