7.2. Апостериорная плотность вероятности

Как видно из п. 7.1, решение задач оптимального радиоприема проводится на основе априорных (предварительных) сведений о подлежащем приему колебании и соответствующей обработки реализации принятого колебания. Естественно, что по сравнению с априорными сведениями, знания о принятом колебании увеличиваются при анализе его принятой реализации. При этом вновь сформированное знание называется апостериорным.

Пусть производиться наблюдение над реализацией колебания

(7.1)

причем регистрируются значения колебания в дискретные моменты времени . Полученная последовательность отсчетов как известно, описывается совместной плотностью вероятности .

Полезный сигнал зависит от одного неизвестного параметра , имеющего априорную плотность вероятности p_апр( ). Знание отсчетов u₁,u₂...u_m увеличивает информацию о значении параметра сигнала . При этом вся вновь приобретаемая информация о параметре содержится в условной плотности вероятности

которую и называют апостериорной плотностью вероятности.

Для совместной плотности вероятности параметра и отсчетов u₁,u₂...u_m в соответствии с теоремой умножения вероятностей имеем:

Принимая во внимание второе равенство и учитывая, что не зависит от параметра , для апостериорной плотности вероятности имеем:

(7.2)

где коэффициент k определяется из условия нормировки.

В теории оптимальных методов радиоприема условная плотность из выражения (7.2), рассматриваемая как функция от , носит название функции правдоподобия. Такое название можно объяснить тем, что при фиксированных данная функция показывает, насколько одно возможное значение параметра более правдоподобно, чем другое. Обозначим эту функцию через П( ):

П( )= .

В этом случае выражение (7.2) запишется в виде:

p_апос( )=kP_апр( )П( ), (7.3)

где из условий нормировки

(7.4)

где множество возможных значений параметра .

Если параметр принимает конечное или счетное число значений, то в выражении (7.4) интеграл заменяется конечной или бесконечной суммой соответственно.

Обычно полагают, что априорная плотность вероятности параметра известно, поэтому нахождение апостериорной плотности вероятности p_апос( ) параметра сводится к вычислению функции правдоподобия П( ). Если принимаемое колебание представляет собой аддитивную смесь (7.1) полезного сигнала s(t, ) и шума и известна многомерная плотность вероятности шума то функция правдоподобия находится довольно просто [5, с. 19-21]. В противном случае вычисление функции правдоподобия представляет весьма сложную задачу.

7.3. Линейная фильтрация

Для устранения вредного влияния шума на полезный сигнал можно применить частотно-избирательный линейный стационарный фильтр. Действительно, пусть сигнал обладает узкополосным энергетическим спектром, сосредоточенным в районе центральной частоты , а спектральная плотность мощности шума занимает более широкую полосу частот. Тогда фильтр, модуль частотного коэффициента передачи которого большой и равномерный в области сосредоточения энергетического спектра сигнала и мал на остальных частотах, будет заметно увеличивать относительную долю сигнала в результирующем колебании на выходе такого фильтра. Перейдем теперь от предварительных качественных замечаний к количественному описанию.

Положим, что на входе фильтра действует аддитивная смесь полезного сигнала и шума :

= + .

Кроме того, пусть сигнал и шум представляют собой некоррелированные и стационарные в широком смысле процессы, у которых средние значения равны нулю.

В таком случае интенсивность колебаний на входе фильтра будем характеризовать значением среднего квадрата (средней мощности):

где угловые скобки обозначают усреднение как по времени (для эргодических процессов), так и по ансамблю реализаций.

Однако ввиду некоррелированности сигналов и третье слагаемое и поэтому средний квадрат входного сигнала равен сумме средних квадратов полезного сигнала и шума:

где - дисперсия шума на входе фильтра.

Следовательно, относительный уровень полезного сигнала по сравнению с шумом на входе фильтра можно охарактеризовать так называемым отношением сигнал/шум . Поскольку процессы и стационарные, то их средние квадраты не зависят от времени и отношение сигнал/шум представляет собой безразмерное число. Отношение сигнал/шум можно выразить и в логарифмических единицах (децибелах):

Поскольку линейный фильтр удовлетворяет принципу суперпозиции, то на выходе получим колебание , также представляющее собой аддитивную смесь преобразованных фильтром независимо полезного сигнала и шума :

= + .

Как следует из теории вероятностей, в этом случае и также будут некоррелированы и поэтому средний квадрат выходного колебания

Далее также, как и на входе фильтра, можно определить отношение сигнал/шум на выходе фильтра:

(7.5)

или в логарифмических единицах

Введем в рассмотрение величину

которая носит название выигрыша фильтра по отношению сигнал/шум. Выигрыш фильтра М_ф также можно выразить в децибелах:

Ясно, что положительный результат от воздействия фильтра на входное колебание будет лишь в том случае, если М_ф >1 или m_ф>0.

Рассмотрим широко используемую в радиотехнике математическую модель узкополосного сигнала:

где A_k амплитуда; - частота и начальная фаза k-й гармонической компоненты сигнала. Найдем среднюю мощность этого сигнала, проведя усреднение по времени:

Если такой сигнал проходит через линейный фильтр с частотным коэффициентом передачи то средняя мощность сигнала на выходе

(7.6)

Используя понятие одностороннего спектра мощности стационарного случайного процесса, для дисперсии шума можем записать:

Тогда дисперсия шума на выходе фильтра

(7.7)

Подставив выражения (7.6) и (7.7) в формулу (7.5), находим выражение для отношения сигнал/шум на выходе фильтра:

Зная спектры сигнала и шума с помощью этой формулы можно подобрать АЧХ линейного стационарного фильтра таким образом, чтобы получить требуемый выигрыш М_ф фильтра по отношению сигнал/шум. При этом следует иметь в виду, что и сам полезный сигнал при прохождении через фильтр претерпевает определенные изменения. Поэтому фильтр необходимо подбирать таким образом, чтобы достичь требуемого значения М_ф и не допустить существенных искажений сигнала. Конкретные требования как к значению выигрыша М_ф, так и к допустимому уровню искажений полезного сигнала фильтром зависят от назначения конкретной радиосистемы.