6.2. Примеры решения задач
1) В денежно вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность денежного или вещевого выигрыша для владельца одного лотерейного билета?
Решение. В соответствии с классическим определением вероятности вероятность денежного выигрыша Р( А ) = 0,005; а вещевого – Р( В ) = 0,015. По тереме сложения вероятностей искомая вероятность любого выигрыша:
Р( А или В) = 0,02
2) Медицинская сестра обслуживает в палате четырех больных. Вероятность того, что в течении часа первый больной попросит внимание сестры Р(А) = 0,1; второй больной – Р(В) = 0,3; третий больной – Р(С) = 0,2. Найти вероятность того, что в течение часа все больные потребуют к себе внимания сестры.
Решение. В соответствии с теоремой умножения вероятностей искомая вероятность Р( А и В и С) = 0,1∙ 0,3∙0,2 = 0,006.
3) В урне 5 белых, 2 черных и 3 красных шаров. Из нее извлекают подряд 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые, если шары обратно не возвращаются.
Решение. Вероятность Р(А) достать белый шар с первой попытки: Р(А) = 5/10. После этого условная вероятность Р(В/А) снова достать белый шар равна Р(В/А) = 4/9. По теореме умножения вероятностей для зависимых событий искомая вероятность равна 2/9.
4). Установлено, что в среднем один из 700 детей мужского пола рождается с лишней Y-хромосомой и что у таких детей крайне агрессивное поведение встречается в 20 раз чаще, чем у детей с нормальным кариотипом. У наблюдаемого мальчика крайне агрессивное поведение. Опираясь на приведенные выше данные, определить вероятность того, что ребенок имеет лишнюю Y-хромосому.
Решение . Вероятность рождения ребенка с лишней Y-хромосомой Р(Мy )= 1/700. Тогда вероятность рождения ребенка без нее: Р(М) = 699/700.
Пусть вероятность агрессивного поведения у детей, не имеющих лишней Y-хромосомы, Р(S/М) = А. Тогда вероятность агрессивного поведения у детей с лишней Y-хромосомой Р(S/Мy ) = 20 А.
Искомую вероятность того, что ребенок с проявлением агрессивного поведения имеет лишнюю Y-хромосому найдем по формуле Байеса:
6.3. Задания на самостоятельную работу
Решить задачи:
Найти вероятность выпадания четного числа при бросании игральной кости (однородный куб с написанными на его гранях цифрами от 1 до 6).
В клиническую больницу поступают пациенты с 4 видами болезней. Многолетние наблюдения показывают, что этим группам заболеваний соответствуют вероятности: 0,1; 0,4; 0,3; 0,2. Для лечения заболеваний, имеющих вероятности 0,1 и 0,2, необходимо производить гемосорбцию. Какое количество больных необходимо обеспечить соответствующим сорбентом, если в течение месяца поступает 1000 больных?
Лечение некоторого заболевания приводит к выздоровлению в 75% случаев. Лечились 6 больных. Какова вероятность того, что: а) выздоровят все шестеро; б) не выздоровит ни один?
В урне имеется 7 белых и несколько черных шаров. Какова вероятность вытащить черный шар, если вероятность вынимания белого шара равна 1/6? Сколько черных шаров в урне?
На гранях кубиков написаны цифры от 1 до 6. Какова вероятность, что при выбрасывании двух кубиков, выпавшая наверху сумма будет не меньше 10 (и сумма < 10)?
Операция пересадки кожи приводит к успеху в 40% всех случаев. Какова вероятность того, что пересадка кожи окажется успешной с третьей попытки? (Считается, что первые две попытки были неудачны).
Установлено, что курящие мужчины в возрасте свыше 40 лет умирают от рака легких в 10 раз чаще, чем некурящие. Предполагая, что 60% мужчин этой возрастной группы курят, вычислить вероятность того, что мужчина, умерший от рака легких, курил.
Краснуха может оказаться причиной серьезных врожденных пороков развития у детей, если мать заболеет ею на ранних стадиях беременности. Вероятность пороков оценивается как 45; 20 и 5%, если заболевание происходит, соответственно, на 1-ом, 2-ом и 3-м месяцах беременности. Предположим, что вероятность заболеть краснухой одна и та же на любом месяце беременности и что ребенок рождается с серьезными пороками по причине краснухи. Какова вероятность того, что мать заболела краснухой на 1-ом месяце беременности?