5.1. Задания на самостоятельную работу
Проверить, являются ли решениями заданных дифференциальных уравнений приведенные функции:
1) у/ = 3х2 + 2; у =
х3 + 2х; 2) у// = х
+ у/; у =
;
3) у// = х2; у =
х4/12.
Найти общие решения дифференциальных уравнений:
1) у/ = 2х3 + 2 2) у/ ех = 1 3) у у/ = х 4) у/ = 1/х + ех
Найти частные решения дифференциальных уравнений:
1) 2ху/ = у, если при х = 9 у = 6
2) (х + 1) dy = уdх, если при х =1 у = 8
3) 3у2у/ = у3 + 1, если при х = 0 у = 2
Решить задачи:
1) На материальную точку массой m действует постоянная сила F. Составить дифференциальное уравнение движения точки в этом случае и, решив его, установить зависимость скорости и координаты точки от времени.
2) Скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. Тело находится в термостате с температурой 0оС. До какой температуры тело охладится за 30 мин, если за 10 мин оно охладилось от 100оС до 50оС?
3) На поглощающую среду с показателем поглощения k падает параллельный пучок света интенсивности Io. Считая, что потери интенсивности света в тонком слое вещества толщиной dx пропорциональны толщине этого слоя, установить зависимость интенсивности I прошедшего света от полной толщины x слоя вещества.
4) Полагая, что количество распадов dN за малое время dt пропорционально числу N радиоактивных ядер и этому времени, получить закон радиоактивного распада и решить следующую задачу: за 30 дней распалось 50% первоначального количества радиоактивного вещества. Через какое время останется 1 % от первоначального количества?
5) Лекарственное вещество вводится внутривенно через капельницу с постоянной скоростью v (мг/мин), а выводится из крови со скоростью, пропорциональной количеству вещества m, содержащемуся в крови на данный момент времени t. Найти закон, определяющий зависимость количеств вещества в крови от времени, т.е. функцию m = f(t).
Занятие №6. Элементы теории вероятности
6.1 Основные определения
Случайное событие – это всякое явление (факт), которое в результате опыта (испытания) может произойти или не произойти. Случайные события называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого. Случайные события называются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого события. Случайные события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Вероятность является количественной мерой возникновения случайного события.
Классическая вероятность Р(А) события А – это отношение числа случаев m , благоприятствующих данному событию, к общему числу случаев (испытаний) n :
P(A) = m / n .
Относительная частота события А – это отношение числа случаев М , в которых реализовалось данное событие, к общему числу испытаний N.
Статистическая вероятность события – это предел, к которому стремится относительная частота события при неограниченном возрастании общего числа испытаний :
Теорема сложения вероятностей для несовместных событий: вероятность появления одного (но все равно какого) из нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей. Для двух событий А и В:
Теорема умножения вероятностей для независимых событий: вероятность совместного проявления независимых событий равна произведению их вероятностей.
Для двух событий А и В:
Р(А или В) = Р(А) Р(В) .
Условная вероятность события Р(В/А) – это вероятность события В при условии, что событие А уже произошло.
Теорема умножения вероятностей для зависимых событий: вероятность одновременного проявления двух зависимых событий (А и В) равна произведению безусловной вероятности первого события на условную вероятность второго:
Р(А и В) = Р(А) Р(В/А) .
формула Байеса:
где (применительно к задачам диагностики заболеваний) Р(М i /S j ) – условная вероятность конкретного диагноза М i из n возможных диагнозов при условии обнаружении симптома S j . Р(М i) – вероятность диагноза М i при случайной выборке (определяемая из данных медицинской статистики). Р(S j /М i ) – условная вероятность проявления симптома S j в болезни с диагнозом М i.