Примеры решения задач.

1. Акробат прыгает в сетку с высоты H = 8м. На какой предельной высоте h над полом надо натянуть сетку, чтобы акробат не ударился о пол при прыжке? Известно, что сетка прогибается на h₀ = 0,5м, если акробат прыгает на неё с высоты H₀ = 1м.

Р ешение.

По закону сохранения энергии потенциальная энергия должна перейти в энергию упругого взаимодействия

Разделив первое уравнение на второе, получим:

Решим данное квадратное уравнение:

м.

Второе значение высоты противоречит условию.

Ответ: h = 1,23м.

2. К проволоке из углеродистой стали длиной l = 1,5м и диаметром d = 2,1мм подвешен груз массой m = 110кг. Принимая для стали модуль Юнга E = 216ГПа и предел пропорциональности σ_n = 330МПа, определите: 1) какую долю первоначальной длины составляет удлинение проволоки при этом грузе; 2) превышает приложенное напряжение или нет предел пропорциональности.

Р ешение.

Запишем закон Гука в виде:

,

где площадь сечения проволоки и F = mg.

Тогда

.

Напряжение по определению

МПа.

Очевидно, что напряжение меньше предела пропорциональности, т.е. применим закон Гука.

Ответ: ; σ = 312МПа < σ_n.

3. Тонкий однородный упругий шнур массы m и длины l₀ (в нерастянутом состоянии) имеет коэффициент упругости k. Склеив торцы, шнур положили на горизонтальную плоскость придали ему форму окружности и раскрутили до угловой скорости ω вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. Найти силу натяжения шнура в этом состоянии.

Р ешение.

Мысленно выделим малый элемент шнура массы δmкак показано на рисунке 11.1а. Этот элемент движется по окружности под действием силы, представляющей собой геометрическую сумму двух векторов, каждый из которых по модулю равен искомой силе натяжения F_n (рис.11.1 б). Поэтому, согласно основного уравнения динамики

δm ∙ ω²r = F_n ∙ δα (1)

Учтём, что и , l - длина шнура во вращающемся состоянии. Тогда (1) примет вид:

(2)

С другой стороны по закону Гука,

F_n = k(l – l₀) (3)

Исключив l из (2) и (3), получим

Заметим, что в случае нерастяжимого шнура (k → ∞) .

Ответ: .

4. Резиновый шнур длиной 40 см и внутренним диаметром 8 мм натянут так, что удлинился на 8 см. Принимая коэффициент Пуассона для резины μ = 0,5, определите внутренний диаметр натянутого шнура.

Р ешение.

Относительная деформация при продольном растяжении:

Относительная деформация при поперечном растяжении:

Эти две величины связаны коэффициентом Пуассона

ε^’ = με

Откуда, после преобразований, получаем:

Ответ: d₁ = 7,2 мм.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Найти работу А, которую надо совершить, чтобы сжать пружину на l = 20см, если известно, что сила F пропорциональна сжатию и жёсткость пружины k = 2,94 кН/м.

Ответ: A = 58,8Дж.

2. Найти наибольший прогиб h рессоры от груза массой m, положенного на его середину, если статический прогиб рессоры от того же груза h₀ = 2см. Каким будет наибольший прогиб, если тот же груз падает на середину рессоры с высоты H = 1м без начальной скорости?

Ответ: 1) h = 4см; 2) h = 22,1см.

3. Груз положили на чашку весов. Сколько делений покажет стрелка весов при первоначальном отбросе, если после успокоения качаний она показывает 5 делений?

Ответ: x = 10делений.

4. Груз массой m = 1 кг падает на чашку весов с высоты H = 10см. Каковы показания весов F в момент удара, если после успокоения качаний чашка весов опускается на h = 0,5см?

Ответ: F = 72,5 H.

5. С какой скоростью двигался вагон массой m = 20 т, если при ударе о стенку каждый буфер сжался на l = 10 см? Жёсткость пружины каждого буфера k = 1 МН/м.

Ответ: υ = 1м/с.

6. Мальчик, стреляя из рогатки, натянул резиновый шнур так, что его длина стала больше на Δl = 10см. С какой скоростью полетел камень массой m = 20г? Жёсткость шнура k = 1кН/м.

Ответ: υ = 22,3м/с.

7. К нижнему концу пружины, подвешенной вертикально, присоединена другая пружина, к концу которой прикреплён груз. Жёсткости пружин равны k₁ и k₂. Пренебрегая массой пружин по сравнению с массой груза, найти отношение потенциальных энергий этих пружин.

Ответ: .

8. На двух параллельных пружинах одинаковой длины весит невесомый стержень длиной L = 10см. Жёсткости пружин k₁ = 2Н/м и k₂ = 3Н/м. В каком месте стержня надо подвесить груз, чтобы стержень оставался горизонтальным?

Ответ: На расстоянии l₁ = 6см от первой пружины.

9. Резиновый мяч массой m = 0,1кг летит горизонтально с некоторой скоростью и ударяется о неподвижную вертикальную стенку. За время Δt = 0,01с мяч сжимается на Δl = 1,37см; такое же время затрачивается на восстановление первоначальной формы мяча. Найти среднюю силу , действующую на стенку за время удара.

Ответ: F = 13,7Н.

10. Гиря массой m = 0,5кг, привязанная к резиновому шнуру длиной l₀, описывает в горизонтальной плоскости окружность. Частота вращения гири v = 2об/с. Угол отклонения шнура от вертикали α = 30⁰. Жёсткость шнура k = 0,6кН/м. Найти длину l₀ нерастянутого резинового шнура.

Ответ: l₀ = 6,3см.

11. Гирю массой m = 0,5кг, привязанную к резиновому шнуру длиной l₀ = 9,5см отклоняют на угол α = 90⁰ и отпускают. Найти длину l резинового шнура в момент прохождения грузом положения равновесия. Жёсткость шнура k = 1кН/м.

Ответ: l ≈ 11см.

12. Спортсмен с высоты h = 12м падает на упругую сетку. Пренебрегая массой сетки, определите, во сколько раз наибольшая сила давления спортсмена на сетку больше его силы тяжести, если прогиб сетки под действием только силы тяжести спортсмена x₀ = 15см.

Ответ: n = 13,7.

13. Гиря массой m = 10кг падает с высоты h = 0,5м на подставку, скреплённую с пружиной жёсткостью k = 30Н/см. Определите при этом смещение х пружины.

Ответ: x = 21,6см.

14. Медная проволока сечением S = 8мм² под действием растягивающей силы удлинилась на столько, на сколько она удлиняется при нагревании на 30 К. Принимая для меди модуль Юнга E = 118ГПа и коэффициент линейного расширения α = 1,7 ∙ 10^-5 К^-1, определите числовое значение этой силы.

Ответ: F = 481Н.

15. Два вагона (масса каждого m = 15т) движутся навстречу друг другу со скоростью υ = 3м/с и сталкиваются между собой. Определите сжатие буферов вагонов, если известно, что сила пропорциональна деформации, и под действием силы кН пружина сжимается на Δl = 1см.

Ответ: l = 11,6см.

16. На подставке лежит груз, прикреплённый лёгкой пружиной к потолку. В начальный момент пружина не растянута. Подставку начинают опускать вниз с ускорением а через какое время t груз оторвётся от подставки? Жёсткость пружины k, масса груза m.

Ответ: .

17. Человек, стоя на платформе весов, быстро приседает и выпрямляется. Как изменятся в ходе этого движения показания весов?

1 8. На однородный стержень длины l действуют две силы F₁ и F₂, приложенные к его концам и направлены в противоположные стороны (рис. 11.2). С какой силой F растянут стержень в сечении, находящемся на расстоянии х от одного из его концов?

Ответ: .

19. Определить относительное удлинение алюминиевого стержня, если при его растяжении затрачена работа 62,1 Дж. Длина стержня 2 м, площадь поперечного сечения 1 мм², модуль Юнга для алюминия E = 69 ГПа.

Ответ: .

20. Найти абсолютное удлинение Δl буксирного троса с жёсткостью k = 100кН/м при буксировке автомобиля массой m = 2т с ускорением a = 0,5м/с². Трением пренебречь.

Ответ: Δl = 0,01м.

21. Напряжение в круглом стальном стержне при нагрузке F_деф1 = 1,2кН равно σ₁ = 30Н/мм². Каково будет напряжение σ₂ при нагрузке F_деф2 = 2,4кН?

Ответ: σ₂ = 6 ∙ 10⁷Н/м².

22. Каков запас прочности тросов n, на которых подвешена кабина лифта, если общее сечение тросов мм², а масса кабины с пассажирами m = 500 кг? Предел прочности стали, из которой изготовлены тросы, σ_пред = 450Н/мм².

Ответ: n = 18,4.

23. Пружина жёсткостью k₁ = 100 Н/м под действием деформирующей силы удлинилась на x₁ = 5см. Какова жёсткость k₂ другой пружины, которая под действием такой же деформирующей силы удлинилась на x₂ = 1см?

Ответ: k₂ = 500Н/м.

24. Какого диаметра нужно взять круглый стальной стержень, чтобы при нагрузке F_деф = 2,5 ∙ 10⁴Н в нём возникло напряжение σ = 60Н/мм². Каково при этом абсолютное удлинение стержня Δl, если начальная длина l₀ = 2м? Модуль упругости (модуль Юнга) для стали E = 2 ∙ 10⁵Н/мм².

Ответ: .

25. Клеем БФ можно склеивать металлы. Предел прочности клеевого шва для стали при растяжении равен σ_пред = 70Н/мм². Каков максимальный вес груза, подвешиваемого к склеенному вертикальному стержню, если диаметр стержня 20 мм? Запас прочности стержня должен быть n = 2.

Ответ: P = 1,1 ∙ 10⁴Н.

26. Верхний конец стального стержня закреплён неподвижно, к нижнему подвешен груз массой m = 2000кг. Длина стержня l = 5м, сечение S = 4см². Определить: 1) нормальное напряжение σ материала стержня; 2) абсолютное и относительное ε удлинение стержня; 3) Потенциальную энергию W растянутого стержня.

Ответ: Δl = 1,23 ∙ 10^-3м; ε = 2,46 ∙ 10^-4; W = 12,1Дж.

2 7. Недеформированная пружина с жесткостью k имеет длину l₀. При вращении системы (рис. 11.3) с угловой скоростью ω груз массой m растягивает пружину. Найти длину l пружины при вращении.

Ответ: .

2 8. Штанга и вертикальная ось образуют жёсткую конструкцию (рис. 11.4). Лёгкая пружина и прикреплённая к ней муфточка массой m = 1кг надеты на штангу, по которой они могут скользить без трения. Муфточка движется равномерно по горизонтальной окружности радиуса r = 30см со скоростью υ = 2м/с. Определить длину l₀ пружины в нерастянутом состоянии, если жёсткость пружины k = 40Н/м, и угол α = 30⁰.

Ответ: l₀ = 22см.

29. К проволоке диаметром d = 2мм подвешен груз массой m = 1кг. Определить напряжение, возникшее в проволоке.

Ответ: σ = 3,12МН/м².

30. Верхний конец свинцовой проволоки диаметром d = 2см и длиной l = 60м закреплен неподвижно. К нижнему концу под­вешен груз массой m = 100кг. Найти напряжение материала у нижнего конца, на середине длины и у верхнего конца проволоки.

Ответ: σ₁ = 3,12МН/м²; σ₂ = 6,45МН/м²; σ₃ = 9,78Н/м².

Занятие 12.

КИНЕМАТИКА ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА.

Учебная цель: добиться понимания физической сущности и законов специальной теории относительности, границ её применения. Привить навыки самостоятельного решения задач по данной теме.

Литература

Основная: Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. – М.: Высшая школа, 1989. – Т.3, Гл. 9, § 9.1 – 9.6.

Дополнительная: Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1987. – Т. 1, гл. 8, § 62 – 70.

Контрольные вопросы для подготовки к занятию

1. Сформулируйте и объясните постулаты А. Эйнштейна.

2. Напишите и объясните формулы преобразований координаты и времени.

3. Напишите и объясните взаимосвязь длины тела (масштаб) в различных ИСО.

4. Напишите и объясните взаимосвязь длительности события в различных ИСО.

5. Сформулируйте и запишите закон сложения скоростей в специальной теории относительности.

6. При каких условиях законы кинематики специальной теории относительности переходят в законы классической механики?

7. Запишите и поясните зависимость массы тела от скорости его движения.

8. Запишите формулу взаимосвязи массы и энергии.

9. Как определяется кинетическая энергия в специальной теории относительности.

10. Приведите формулу взаимосвязи импульса и полной энергии тела, а также импульса и кинетической энергии.