Задачи для самостоятельного решения.

1. Однородный цилиндр находится на горизонтальной доске . Коэффициент трения между ними равен μ. Доске сообщили ускорение a в горизонтальном направлении перпендикулярно оси цилиндра. Найти: 1) ускорение оси цилиндра в отсутствие скольжения; 2) предельное значение a_np, при котором скольжение ещё отсутствует.

Ответ: ; a_np = 3 μg.

2. К ободу однородного диска радиусом R = 0,2м приложена постоянная касательная сила F = 100 Н. При вращении на диск действует момент сил трения М_тр = 5 Н·м. Найти массу диска, если известно, что диск вращается с постоянным угловым ускорением  = 100 рад/с² .

Ответ: m = 7,5кг.

3. Маховик радиусом R = 0,2м и массой 10 кг соединён с мотором с помощью приводного ремня. Натяжение ремня, идущего без скольжения, постоянно и равно T = 14,7Н. Какое число оборотов в секунду будет делать маховик через 10 с после начала движения? Маховик – однородный диск. Трением пренебречь.

Ответ: v = 23,4об/с.

4. Какую постоянную силу нужно приложить по касательной к сечению вала радиусом R₁ = 6см, на котором укреплён маховик в форме диска радиусом R₂ = 60см, чтобы увеличить частоту вращения системы за 1 мин от 2 до 4 с ^–1 ? Масса маховика m₂ = 150кг, масса вала m₁ = 5кг.

Ответ: F = 94,23Н.

5. К ободу однородного диска радиусом R = 0,2м приложена касательная сила F = 98,1Н. При вращении на диск действует момент сил трения M_mp = 4,9 H ∙м. Найти массу диска, если известно, что диск вращается с угловым ускорением ε = 100рад/с ²?

Ответ: m = 7,36кг.

6. Вал радиусом R = 5см и массой m = 100кг вращается с частотой v = 8 с ^–1. К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой F = 40Н, под действием которой вал остановился через 10 с. Определить коэффициент трения μ.

Ответ: μ = 0,31.

7. На горизонтальную ось насажены маховик и лёгкий шкив радиусом R = 5см. На шкив намотан шнур, к которому привязан груз массой m = 0,4кг. Опускаясь, груз прошёл путь S = 1,8м за время t = 3с. Определить момент инерции маховика, считая массу шкива пренебрежимо малой.

Ответ: J = 0,0245кг ^. м ².

8. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузики массой m₁ = 100г и m₂ = 110г. С каким ускорением будут двигаться грузики, если масса блока m = 400г? Трение при вращении блока можно считать равномерно распределённой по ободу.

Ответ: a = 0,239м/с ².

9. Шар массой m = 10кг и радиусом R = 20см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид φ = 5 + 4t² – t³. По какому закону меняется момент сил, действующих на шар? Какова величина момента сил M в момент времени t = 2с?

Ответ: ; M = – 0,64Н ^. м.

10. На барабан радиусом R = 20см, момент инерции которого : J = 0,1кг^.м ², намотан шнур с привязанным к его концу грузом массой m₁ = 0,5кг. До начала вращения высота груза над полом h = 1м. Найти: 1) через какое время груз опустится до пола; 2) скорость груза в момент удара о пол; 3) натяжение нити.

Ответ: T ≈ 4,08Н; t = 1,1с; υ = 1,79м/с.

11. С наклонной плоскости скатывается без скольжения однородный диск. Найти ускорение диска и силу трения, если угол наклона плоскости к горизонту α = 36⁰, масса диска 500г.

Ответ: F_mp = 0,96Н.

12. С наклонной плоскости скатывается без скольжения сплошной цилиндр и тележка, поставленная на лёгкие колёса. Массы цилиндра и тележки одинаковы. Какое из тел скатится быстрее и во сколько раз.

Ответ: .

13. Найти линейное ускорение центра масс шара, скатывающегося без скольжения с наклонной плоскости, если угол наклона плоскости к горизонту равен 30 ⁰, начальная скорость шара равна нулю.

Ответ: a = 3,5м/с ².

14. По горизонтальному столу может катиться без скольжения цилиндр массой т, на который намотана нить. Ко второму концу нити привязан груз той же массой т. Нить перекинута через блок, укреплённый на краю стола. Блок невесом. Найти ускорение груза и силу трения между цилиндром и столом. Решить задачу: 1) для полого цилиндра; 2) для сплошного цилиндра.

Ответ: 1) ; 2) ; .

15. По ободу шкива, насаженного на общую ось с маховым колесом, намотана нить, к концу которой подвешен груз массой 1 кг. На какое расстояние должен опуститься груз, чтобы колесо со шкивом получило скорость, соответствующую 60 об/мин? Момент инерции колеса со шкивом равен 0,42 кг ^. м ², радиус шкива R = 10см.

Ответ: h = 0,846м.

16. Найти момент инерции J и момент импульса L земного шара относительно оси вращения.

Ответ: J = 97,36 ∙ 10³⁶ кг ∙ м²; L = 7 ∙ 10³³ кг ∙ м²/c.

17*. Два шара одинакового радиуса R = 5см закреплены на концах невесомого стержня. Расстояние между шарами r = 0,5м. Масса каждого шара m = 1кг. Найти: а) момент инерции J₁ системы относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно к нему; б) момент инерции J₂ системы относительно той же оси, считая шары материальными точками, массы которых сосредоточены в их центрах; в) относительную ошибку , которую мы допускаем при вычислении момента инерции, заменяя величину J₁ величиной J₂.

Ответ: J_1c = 0,127 кг ∙ м²; J_2c = 0,125 кг ∙ м²; δ = 1,6 %.

18. Шар массой m = 1кг катится без скольжения, ударяется о стенку и откатывается от неё. Скорость шара до удара о стенку υ = 10м/с, после удара u = 8 м/с. Найти количество теплоты Q, выделившееся при ударе шара о стенку.

Ответ: Q = 2,5мДж.

19. Найти относительную ошибку δ, которая получится при вычислении кинетической энергии W_k катящегося шара, если не учитывать вращение шара.

Ответ: δ = 40 %.

20. Найти кинетическую энергию W_k велосипедиста, едущего со скоростью км/ч. Масса велосипедиста вместе с велосипедом m = 78кг, причём на колёса приходится масса m₀ = 3кг. Колёса велосипедиста считать обручами.

Ответ: W_k = 262,5Дж.

21. По ободу шкива, насаженного на общую ось с маховым колесом, намотана нить, к концу которой подвешен груз массой 1 кг. На какое расстояние должен опуститься груз, чтобы колесо получило частоту вращения об/мин? Момент инерции колеса со шкивом J = 0,42 кг ∙ м², радиус шкива R = 10см.

Ответ: h = 86,5см.

22. Маховое колесо вращается с частотой v = 10об/с. Его кинетическая энергия W_k = 7,85кДж. За какое время момент сил M = 50Н^.м, приложенный к маховику, увеличит угловую скорость вращения вдвое?

Ответ: t = 5с.

23. Однородный стержень длиной l = 1м подвешен на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. На какой угол α надо отклонить стержень, чтобы нижний конец стержня при прохождении положения равновесия имел скорость υ = 5м/с?

Ответ: α = 81⁰.

24. Выведите формулу для момента инерции сплошного шара радиусом R и массой m, относительно оси, проходящей через центр масс шара.

25. Выведите формулу для момента инерции полого шара с внешним радиусом R, внутренним r и массой m, относительно оси, проходящей через центр масс шара.

Ответ: .

26. Полый тонкостенный цилиндр массой m = 0,5кг, катящийся без скольжения, ударяется о стену и откатывается от неё. Скорость цилиндра до удара о стену υ₁ = 1,4м/с, после удара υ₁^’ = 1м/с. Определите выделившееся при ударе количество теплоты.

Ответ: Q = 0,48 Дж.

27. Колесо радиусом R = 30см и массой m = 3кг скатывается без трения по наклонной плоскости длиной l = 5м и углом наклона α = 25⁰. Определите момент инерции колеса, если его скорость в конце движения составляла υ = 4,6м/с.

Ответ: J = 0,259 кг^.м².

28. Тело массой m₁ = 0,25кг, соединённое невесомой нитью посредством блока (в виде полого тонкостенного цилиндра) с телом массой m₂ = 0,2кг, скользит по поверхности горизонтального стола. Масса блока m = 0,15кг. Коэффициент трения тела о поверхность равен μ = 0,2. Пренебрегая трением в подшипниках, определите: 1) ускорение a, с которым будут двигаться эти тела; 2) Силы натяжения F_н1 и F_н1 нити по обе стороны блока.

Ответ: a = 2,45м/с²; F_н1 = 1,1Н; F_н2 = 1,47Н.

2 9. Для демонстрации законов сохранения применяется маятник Максвелла, представляющий собой массивный диск радиусом R и массой m, туго насаженный на ось радиусом r, которая подвешивается на двух предварительно намотанных на неё нитях. Когда маятник отпускают, то он совершает возвратно-поступательное движение в вертикальной плоскости при одновременном движении диска вокруг оси. Не учитывая силы сопротивления и момент инерции, определите: 1) ускорение поступательного движения маятника; 2) силу натяжения нити.

Ответ: ; .

30. Однородный шар радиусом r = 20см скатывается без скольжения с вершины сферы радиусом R = 50см. Определите угловую скорость шара после отрыва от поверхности сферы.

О твет: ω = 10 рад/с.

30. Один конец вертикально расположенной нити закреплён в точке О (рис. 7.7), а другой намотан на сплошной цилиндр (диск) массы m = 10кг и радиуса R = 10см. Определить ускорение центра масс и силу натяжения нити. Нить невесома и нерастяжима.

Ответ: a_C ≈ 9,1м/с²; a₁ ≈ 7,5м/с²; F_n ≈ 7,5Н;

ε ≈ 15,1рад/с².