Примеры решения задач.
1. Тело массой m1 = 2кг движется по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью υ1 = 4м/с и нагоняет второе тело массой m2 = 10кг, движущееся со скоростью υ2 = 1м/с. Найти скорости тел после столкновения, если удар был: 1) абсолютно неупругим; 2) абсолютно упругим. Тела движутся по одной прямой; удар центральный, т.е. скорости тел направлены вдоль линии, соединяющей их центры масс.
Решение.
Рассмотрим сначала первый случай. В результате абсолютно неупругого удара оба тела начинают двигаться с одной и той же скоростью (рис. 6.1). Т.к. вдоль оси OX силы не действуют (трения нет, ибо поверхность гладкая), то сумма проекций импульсов тел на эту ось сохраняется, т.е. сумма проекций импульсов обоих тел до удара равна проекции общего импульса тел после удара:
m1υ1x + m2υ2x = (m1+ m2)ux.
Так как υ1x = υ1, υ2x = υ2, то
м/с.
Получили ux > 0, а это означает, что после соударения тела будут двигаться в положительном направлении оси OX.
Во втором случае удар был абсолютно упругим. Следовательно, суммарная кинетическая энергия тел до удара и после него не изменяется:
,
(1)
где u1 , u2 – модули скоростей тел после удара. Кроме того, как и в первом случае, сохраняется сумма проекций импульсов на ось OX
m1υ1 + m2υ2 = m1u1x + m2u2x . (2)
Преобразуем уравнения (1) и (2) к виду:
m1(υ12 – u1x2) = m2(u2x2 – υ22) (3)
m1(υ1 – u1x) = m2(u2x – υ2) (4)
Разделив почленно уравнение (3) на уравнение (4), получим
υ1 – u1x = u2x + υ2 (5)
Умножим левую и правую часть уравнения (5) на m2 и из полученного уравнения вычтем уравнение (4). В результате будем иметь
(6)
Для нахождения
умножим обе части уравнения (5) на m1,
а затем сложим почленно с уравнением
(4). Получим
(7)
Подставив в формулы значения числовых величин и произведя вычисления, получим: u1x = – 1м/с и u2x = 2м/с. Это означает, что первое тело стало двигаться в отрицательном направлении оси OX, а направление движения второго тела осталось прежним. Модуль скорости второго тела увеличился.
Ответ: 1) ux = 2м/с; 2) u1x = – 1м/с; u2x = 2м/с.
2. Снаряд массой m = 10кг обладал скоростью υ = 200м/с в верхней точке траектории. В этой точке он разорвался на две части. Меньшая, массой m1 = 3кг получила скорость υ1 = 400м/с. С какой скоростью и в каком направлении полетит большая часть снаряда, если меньшая полетела вперёд под углом φ1 = 600к горизонту.
Р
ешение.
Запишем закон сохранения импульса тела в векторном виде:
Так как направление скоростей осколков не совпадают с первоначальным направлением, выберем оси координат и найдём проекции скоростей на них. Тогда в скалярном виде можем записать:
x → m υ = m1 υ1 cos φ1 + m2 υ2 cos φ2
y → 0 = m1 υ1 sin φ1 + m2 υ2 sinφ2
Из второго уравнение
.
Подставим в первое уравнение, получим:
Зная этот угол, определяем скорость второго осколка с учётом того, что
m2 = m – m1 = 10 – 3 = 7кг
м/с.
Ответ: υ2 ≈ 250м/с; φ2 ≈ 370.
3. В баллистический маятник массой m1 = 5кг попала пуля массой m2 = 10г и застряла в нём. Найти скорость пули, если маятник, отклонившись после удара, поднялся на высоту h = 10см.
Р
ешение.
Запишем закон сохранения импульса тела применительно к условию задачи и выразим из него скорость пули:
Скорость маятника и пули после столкновения определим с помощью закона сохранения энергии:
м/с.
Тогда скорость пули будет:
м/с.
Ответ: υ2 = 700м/с.
4. На рельсах стоит платформа массой m1 = 10т. На платформе закреплено орудие массой m2 = 5т, из которого производится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда m3 = 100кг, его скорость относительно орудия υ0 = 500м/с. На какое расстояние S откатится платформа при выстреле, если: а) платформа стояла неподвижно; б) платформа двигалась со скоростью υ = 18км/ч и выстрел был произведён в направлении её движения; в) платформа двигалась со скоростью υ = 18км/ч и выстрел был произведён в направлении противоположном направлению её движения? Коэффициент трения платформы о рельсы μ = 0,002.
Р
ешение.
а) По закону сохранения импульса
(1)
По второму закону Ньютона
Fmp = (m1 + m2)a или μ (m1 + m2)g = (m1 + m2)a
Откуда
a = μg (2) Расстояние на которое откатится платформа
,
где
u
= at
– скорость
платформы в первый момент после выстрела.
,
тогда
Подставив (1) и (2), получим:
м.
б) По закону сохранения импульса
м/с,
т.е. будет направлена в обратную сторону относительно υ0 и υ. Расстояние, на которое откатится платформа
м.
в) По закону сохранения импульса
м/с,
направление выбрано правильно. Пройденный платформой путь
м.
Ответ: S = 1800м.
5. Пластмассовый шарик, падая с высоты h1 = 1м несколько раз отскакивает от пола. Найти коэффициент восстановления k при ударе шарика о пол, если с момента падения до второго удара о пол прошло время t = 1,3с.
Р
ешение.
Падая с высоты h1 шарик подлетает к полу со скоростью υ1, а отскакивает от него со скоростью υ1 = k υ1. Согласно закона механической энергии
После почленного деления получим:
Промежуток времени с момента падения шарика до второго удара о пол
t = t1 + 2t2,
где t1 - время падения шарика с высоты h1
и t2-
время падения шарика с высоты h2.
Так как
и
,
то
.
Ответ: k = 0,94.