§4.1. Интерпретация результатов регрессии
Запишем уравнение регрессии, беря округленные до трех знаков после запятой коэффициенты из ячеек F17:F19 рис.4.2:
Стоимость=14,123+0,017*Площадь+0,361*Оценка.
В модели множественной регрессии коэффициенты называются коэффициентами чистой регрессии или частными наклонами. Так, если оценка постоянна, а жилая площадь меняется, то стоимость меняется на 0,017 тысячи долларов при изменении площади на один квадратный фут. Аналогично, если площадь постоянна, то стоимость изменится на 0,361 тысячи долларов при единичном изменении оценки (также измеряемой в тысячах долларов).
Значимость коэффициентов
Для коэффициента Площади - статистика больше двух, следовательно, 0,017 существенно отличается от нуля. Мы можем отвергнуть нулевую гипотезу об отсутствии зависимости между Площадью и стоимостью в данной модели и заключить, что имеется существенная связь.
Для коэффициента Оценки - статистика равна 2,79, следовательно, значение 0,361 существенно отличается от нуля.
-значение является двусторонней вероятностью распределения . Так как мы ожидаем увидеть положительную зависимость стоимости от каждой из независимых переменных, применим односторонние критерии. Разделим каждое -значение в результатах на два и получим, что одностороннее -значение равно 0.00038 и 0,0081 соответственно. Таким образом, в данной модели мы можем отвергнуть гипотезу об отсутствии связи между стоимостью и каждой из независимых переменных с 1% уровнем значимости.
Значение - статистики для параметра -пересечение обычно не используется.
Интерпретация регрессионных статистик
Стандартная ошибка во множественной регрессионной модели, как видно из строки 7 рис. 4.2, равна $2623, что лучше, чем стандартная ошибка $3328 в простой регрессионной модели. Значение -квадрат в строке 5 показывает, что примерно 80% колебаний стоимости описываются линейной моделью с жилой площадью и оценочными значениями в качестве независимых переменных. Данная характеристика также лучше, чем в простой модели с одной независимой переменной, где описывалось только 66% изменений.
Интерпретация анализа дисперсии
Анализ дисперсии приведен в строках с 10 по 14 рис. 4.2. и является результатом проверки нулевой гипотезы, что все коэффициенты регрессии одновременно равны нулю. Окончательным результатом является -значение, обозначенное как Значимость F. В нашем случае -значение приблизительно равно 0,00007 и является вероятностью получить данные результаты для случайной выборки из совокупности, в которой стоимость не зависит от независимых переменных. Полученное -значение показывает, что наблюдаемые результаты вряд ли могли быть получены для случайной выборки из такой совокупности, поэтому мы отвергаем гипотезу об отсутствии зависимости и заключаем, что по крайней мере существует хоть одна существенная зависимость.
§4.2. Анализ остатков
Для проверки предположений о линейности зависимости и постоянства дисперсии полезно изучить график остатков. MS Excel строит графики остатков для каждой независимой переменной, как показано на рис. 4.3 Данные диаграммы расположены справа от результатов анализа регрессии.
Рис. 4.3. Остатки относительно жилой площади и относительно оценочных значений
Если зависимость между стоимостью и жилой площадью линейна (после принятия во внимание оценочного значения), то график остатков должен иметь случайный вид. С другой стороны, если мы видим некоторую кривую или другой систематический рисунок, то следует изменить модель, включая в нее нелинейную зависимость.
Графики остатков полезны для нахождения ситуаций, в которых остатки меньше в одной области и больше в другой. Тогда график остатков имеет вид лежачего дерева. В таких случаях стандартная ошибка оценки, которая обобщает отдельные остатки, больше, чем изменение в одной области, и меньше, чем изменение в другой.
График остатков относительно оценочных значений показан на рис. 4.3. и также имеет случайный вид.