Задача 3.1.
В колі, яке складається із послідовно з’єднаних резистора опором =20 Ом, котушки
і
ндуктивністю
=1,0
млГн і конденсатора ємністю
=0,10
мкФ, діє синусоїдальна електрорушійна
сила (
)
(див. мал.). Визначити циклічну частоту
електрорушійної сили, при якій в колі
наступить резонанс; резонансне значення
струму (
);
знайти дійсні значення напруг (
),
(
),
(
)
на всіх елементах кола, якщо діюче
значення електрорушійної сили
=30
В.
Відповідь:
=1,0.105
рад/с;
=1,5
А;
=30
В;
=150
В;
=150
В.
Розв’язування 3.1
При
дії змінної е.р.с.
в коливальному контурі встановляться
вимушені електромагнітні коливання.
При цьому амплітудні значення струму
і е.р.с.
зв’язані співвідношенням:
(1)
Але
відомо, що діючі значення сили струму
та е.р.с.
зв’язані з їх амплітудними значеннями
та
співвідношеннями:
, (2)
Перепишемо
вираз (1), врахувавши формули (2) і, для
спрощення, опустивши індекси біля
величин
та
:
(3)
Відомо,
що резонанс струму
наступить тоді, коли частота е.р.с.
буде така, що вираз в дужках у формулі
(3) перетвориться в нуль. З цієї умови
визначимо резонансну циклічну частоту
рад/с
(4)
При цьому сила струму рівна:
А
(5)
Знаючи
силу струму
,
знайдемо діючі значення напруги на
кожному з елементів контуру
,
застосувавши закон Ома для кожної з цих
ділянок:
В;
В;
В.
Рівність
значенню
випливає з рівності ємнісного і
індуктивного опорів при резонансі.
Задача 3.2.
Довести,
що для струму вільних коливань індуктивний
опір котушки
,
чи ємнісний опір конденсатора
дорівнює
характеристичному опору контуру
.
Розв’язування 3.2
Справді,
індуктивний опір котушки контуру
.
Але
.
Отже
.
Так само для ємнісного опору:
Задача 3.3.
Коливальний
контур складається із конденсатора
ємністю
=5,0
мкФ і котушки індуктивністю
=0,200
Гн. Визначити максимальний струм в
контурі (
),
якщо максимальна різниця потенціалів
на обкладках конденсатора
=90
В. Активним опором контуру (
)
знехтувати.
Відповідь: =0,45 А.
Розв’язування 3.3
Розглянемо два методи розв’язування задачі. Перший заснований на дослідженні рівняння вільних незгасаючих електромагнітних коливань, другий – на законі збереження енергії.
Відомо, що при
та
в контурі будуть незгасаючі коливання,
при цьому:
(1)
Знайдемо силу струму
(2)
(3)
Величина
(4)
являється амплітудним значенням, тобто максимальним значенням струму в контурі.
Відомо, що
,
(6)
тоді значення (4) і (5) підставимо в формулу
(7)
А
В процесі незгасаючих електромагнітних коливань повна електромагнітна енергія контуру, яка рівна сумі енергій електричного поля конденсатора
і магнітного поля котушки
,
залишається постійною. При цьому в ті
моменти, коли конденсатор максимально
заряджений
,
сила струму рівна нулю. Значить повна
енергія контуру
(1)
В
той час, коли конденсатор розряджений
,
сила струму досягає максимального
значення
.
Тоді повна енергія контуру
(2)
Прирівнюючи праві частини формул (1) і (2), знайдемо
(3)
Підставивши
числові значення величин, виражених в
одиницях СІ:
Ф,
Г,
В, і провівши обчислення, одержимо
=0,45 А.