Тема 3. Електромагнітні коливання та хвилі

3.1.Вільні незгасаючі електромагнітні коливання. Диференційне рівняння та його розв’язок. Основні поняття та характеристики.

Електромагнітні коливання виникають в коливних контурах, які складаються із конденсатора ємністю і котушки індуктивністю , з’єднаних в коло (рис.3.1.1).

Рис.3.1.1. Коливний контур для вільних незгасаючих електромагнітних коливань

Конденсатор, маючи заряд , буде розряджатися через котушку індуктивності. Струм розрядки створить електромагнітне поле, яке, в свою чергу, забезпечить заряд конденсатора, але протилежної полярності. Сила струму та напруга будуть змінюватися в часі за періодичним законом. Коливання не будуть згасати (затухати) тільки при умові, що коливальний контур не містить активних опорів .

Періодичні електричні коливання напруги та струму, викликані періодичними коливаннями заряду в коливальному контурі, створюють електромагнітну хвилю.

Нехай маємо:

– електрична ємність конденсатора;

– індуктивність котушки;

– миттєве значення заряду на конденсаторі;

– максимальне значення заряду на конденсаторі;

– миттєве значення сили струму через котушку;

– миттєве значення напруги на конденсаторі;

– миттєве значення напруги на котушці.

В кожен момент часу напруга на котушці і конденсаторі повинна бути рівна одна одній за величиною і протилежна за знаком, тобто

(1.1)

де

(1.2)

Звідси випливає

(1.3)

Рівняння (1.3) розділимо на , введемо позначення:

(1.4)

і перепишемо у вигляді:

(1.5)

Рівняння (1.5) є диференціальне рівняння незгасаючих електромагнітних коливань.

Розв’язком рівняння (1.5) є рівняння (1.6):

, (1.6)

яке описує зміну заряду з часом на обкладках конденсатора.

Миттєве значення напруги на конденсаторі отримаємо з рівняння (1.6), розділивши його ліву і праву частину на величину електроємності :

(1.7)

Миттєве значення струму знайдемо, якщо продиференціюємо вираз (1.6). Тоді:

, (1.8)

де – максимальне значення сили струму (амплітуда сили струму). Тому рівняння (1.8) можна записати у вигляді:

(1.9)

Циклічну частоту вільних незгасаючих електромагнітних коливань визначають із рівняння (1.4). Це рівняння можна отримати також із рівності ємнісного і індуктивного опорів.

Відомо, що

(1.10)

(1.11)

Тоді з умови, що , маємо:

(1.12)

(1.13)

(1.14)

Але відомо, що

(1.15)

З рівнянь (1.14) та (1.15) знайдемо період коливань :

(1.16)

де – період, c; – індуктивність контуру, Г; – ємність контуру, Ф.

Таким чином, період вільних незгасаючих електромагнітних коливань визначається за формулою (1.16), яка називається формулою Томсона.