- •Тема 3. Електромагнітні коливання та хвилі
- •3.2. Вільні згасаючі електромагнітні коливання. Диференційне рівняння та його розв’язок. Основні поняття та характеристики
- •Циклічна частота та період
- •Стала часу
- •Логарифмічний декремент затухання
- •Хвильовий опір
- •Параметр затухання контуру та добротність
- •3.3. Вимушені електромагнітні коливання. Диференційне рівняння та його розв’язок. Основні положення та характеристики.
- •3.4. Електромагнітна теорія світла. Світлова хвиля
- •Задача 3.1.
- •Задача 3.2.
- •Розв’язування 3.2
- •Задача 3.3.
- •Задача 3.4.
- •Задача 3.7
- •Розв’язування 3.7
- •Задача 3.8
- •Розв’язування 3.8
- •Розв’язування 3.9
3.2. Вільні згасаючі електромагнітні коливання. Диференційне рівняння та його розв’язок. Основні поняття та характеристики
Розглянемо коливний контур, який складається з конденсатора ємністю , котушки індуктивністю і резистора з омічним опором , з’єднаних послідовно (рис.3.2.1).
Рис.3.2.1.
Коливний контур для вільних згасаючих
електромагнітних коливань
.
В такому коливному контурі сума всіх миттєвих значень напруг на його складових повинна бути рівна нулю.
(2.1)
де
(2.2)
а – миттєве значення напруги на активному опорі .
Враховуючи записане, рівняння (2.1) перепишемо у вигляді:
(2.3)
Розділимо рівняння (2.3) на і введемо позначення:
(2.4)
(2.5)
Тоді рівняння (2.3) матиме вигляд:
(2.6)
Рівняння (2.6) є диференційне рівняння вільних згасаючих електромагнітних коливань.
Розв’язком рівняння (2.6) є рівняння (2.7), яке описує зміну заряду з часом на обкладках конденсатора в контурі (рис.3.2.1);
(2.7)
де – початкові амплітуда та фаза, які визначаються із початкових умов;
– амплітуда вільних згасаючих коливань;
– циклічна частота вільних згасаючих коливань.
Циклічна частота та період
Циклічна частота вільних згасаючих коливань визначається рівнянням:
(2.8)
Тоді період для –коливальних контурів знаходять за формулою:
(2.9)
де – циклічна частота вільних незатухаючих коливань, які встановлюються в контурі при умові ; – коефіцієнт згасання, який характеризує швидкість згасання вільних згасаючих електромагнітних коливань.
Рівняння (2.9.) є рівняння Томсона для вільних згасаючих електромагнітних коливань.
Стала часу
Іноді згасання коливань характеризують сталою часу – величиною, оберненою до коефіцієнта згасання:
(2.10)
Для того, щоб встановити фізичний зміст сталої часу, розглянемо амплітуди коливань у початковий момент часу і в момент часу . Для згасаючих коливань амплітуда в початковий момент часу є рівна . Для моменту часу амплітуда є рівною:
(2.11)
Отже, стала часу – це проміжок часу, протягом якого амплітуда вільних згасаючих коливань зменшується в –раз.
Логарифмічний декремент затухання
Часто, окрім чи , користуються поняттям декремента затухання – логарифмічним декрементом затухання.
Декремент затухання показує, яка частина енергії витрачається в контурі на тепло за половину періоду:
(2.12)
де – втрати енергії в контурі за половину періоду на тепло; – повна енергія коливань.
Повна енергія коливань в контурі:
(2.13)
Знайдемо втрати енергії на тепло за половину періоду:
(2.14)
де – ефективне (діюче) значення сили струму:
(2.15)
– активний опір; – час ( в даному випадку ). Отже:
(2.16)
Звідси:
Але , тому:
(2.17)
Встановимо зв’язок декременту затухання з амплітудою коливань. Якщо в якийсь момент часу амплітуда коливань
(2.18)
то через період вона дорівнюватиме:
(2.19)
Знайдемо відношення амплітуд:
(2.20)
Обчислимо натуральний логарифм від обох частин рівності (3.20):
(2.21)
Вище ми бачили, що , отже:
(2.22)
Цей вираз можна вважати означенням декремента затухання. Він є справедливий для будь-якого моменту часу. Можна сказати: натуральний логарифм відношення двох послідовних амплітуд (амплітуди віддалені одна від одної на один період) дорівнює декременту затухання.
Найпростіше декремент затухання можна визначити з графіка власних коливань, вимірявши дві послідовні амплітуди і знайшовши натуральний логарифм їх відношення
(2.23)