82. Используя свойство интеграла с переменным верхним пределом, докажите формулу Ньютона - Лейбница для определенного интеграла.

Пусть функция y=f(x) непрерывна на [a;b] и F(x) – первообразная для f(x), тогда: интеграл f(x)dx=F(b)-F(a), т.е. значение определенного интеграла равно приращению любой из первообразных подынтегральной функции на отрезке интегрирования.

Доказательство: Поскольку функция F(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она интегрируема на этом отрезке и имеет первообразную на этом отрезке.

По теореме о производной интеграла по переменному верхнему пределу F(t)=_a∫^t f(x)dx=f(t)

Но первообразные отличаются на c-const

_a∫^t f(x)dx=F(t)+c (*)

1) t=a, значит _a∫^af(x)dx=F(a)+c=0 F(a)=-c подставим это выражение в уравнение (*) и получим:

_a∫^t f(x)dx=F(t)-F(a)

2) t=b, значит _a∫^b f(x)dx=F(b)-F(a)

83. Докажите, что для любых непрерывных на отрезке [a,b] функций f (X) и g(X) справедливо равенство

Теорема: интеграл от суммы функций f(x) и g(x) на отрезке [a;b] равен сумме интегралов от этих функций на том же отрезке.

Доказательство:

Из свойств неопределенного интеграла следует, что, если F(x) – первообразная для f(x), G(x) – первообразная для g(x), то первообразная (f(x)+g(x)) равна F(x)+G(x). Следовательно,

Интеграл (f(x)+g(x))dx=(F(b)+G(B))-(F(a)+G(a))=(F(b)-F(a))+(G(b)-G(a))=интеграл f(x)dx+интеграл g(x)dx

85. Дайте определение несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом. При каких значениях a сходится интеграл

Если существует конечный предел lim_b→+∞ инт f(x)dx, то этот предел называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом от функции f(x) на интервале [a;+∞). При этом говорят, что интеграл f(x)dx сходится.

= =lim_x→+∞ -

Этот интеграл сходится, если существует предел lim_x→+∞ , а он существует при α>1.

Пусть функция f(x) определена на полуоси и интегрируема по любому отрезку [a,b], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла при называется несобственным интегралом функции f(x) от a до и обозначается .

=lim_ε→0+0 =lim_ε→0+0( )= -lim_ε→0+0

Данный интеграл сходится, если сходится предел lim_ε→0+0 , а он сходится при 0<α<1.

87. cos4xdx=lim_x→+∞ dx-1/4*(sin0)= lim_x→+∞ dx – расходится, т.к.

lim_x→+∞ dx не существует.

88. dx= lim_x→-∞ = -0= - сходится.

89. =lim_ε→0+0 =lim_ε→0+0(-2 +2 )=2 – сходится.

90. =lim_ε→0+0( )=lim_ε→0+0( )=

=lim_ε→0+0( )=lim_ε→0+0( )=+∞ - расходится

91. Дайте определения числового ряда и его суммы. Найдите сумму ряда

Пусть дана числовая последовательность a1.a2.a3..an… . Выражение вида (*) называют числовым рядом, или просто рядом. Суммы конечного числа первых членов ряда ; ; ; …, называются частичными суммами ряда. Они образуют числовую последовательность. Если эта последовательность сходится, т. е. имеет предел , то ряд (*) называется сходящимся, а число S - суммой ряда.

Запишем как: 1+1*0,2+1*

Это геометрическая прогрессия: b=1, q=0,2. Значит

- сумма данного ряда.