98 Сформулируйте признак Даламбера в предельной форме. Приведите пример сход ряда с положит членами, к кот этот признак применим.

Если для знакополож ряда сущ конечный или бесконечный предел отнош последующ члена ряда к предыдущему при n→∞, то ряд сходится, если lim<1.

Пример: 2/1+2²/2+2³/3+…+2ⁿ/n+…

An=2ⁿ/n

An+1=2ⁿ⁺¹/n+1

Lim 2ⁿ⁺¹*n/n+1*2ⁿ=2lim n/n+1=2>1 ряд сходится!!!

99 Дайте определение гармонического ряда. Док-те, что гарм ряд расходится.

1=1/2+1/3+…+1/n+…=∑1/n при n =(1;∞) такой ряд называют гармоническим рядом. Для гарм ряда выполнено необходимое условие сходимости, так как lim An=lim1/n=0 при n→∞. Докажем, что этот ряд расходится. Действительно, если бы этот ряд сходился, то, обозначая его сумму через S, мы бы имели lim( S_2n-S_n)= lim S_2n-limS_n=S-S=0. Но S_2n-S_n=1/n+1+1/n+2+…1/2n>1/2n+1/2n+1/2n+…1/2n=n*1/2n=1/2,т.е. S_2n-S_n>1/2. Отсюда следует, что равенство lim(S_2n-S_n)=0 невозможно, т.е. гармонический ряд расходится.

100 Сформулируйте признак Лейбница для знакочеред числовых рядов. Приведите пример знакочеред ряда, сход условно.

Признак Лейбница: Если абсолютные величины членов знакочеред ряда (A1-A2+A3-A4+…+(-1)ⁿ⁺¹*An+…) монотонно убывают: A1>A2>A3… и общий член ряда стремится к нулю: lim An=0, то ряд сходится.

Пример: 1-1√2+1√3-1√4+…условно сход ряд, так как сам он сходится по признаку Лейбница. А ряд, составленный из абсолютных величин 1+1√2+1√3+1√4+…, расходится.

Пример: - знакочередующийся ряд. Убедимся, что модуль общего члена монотонно убывает:

>1 для всех п. Далее, . Таким образом, по признаку Лейбница данный ряд сходится. Продолжим исследование модуля общего члена данного ряда. Сравним его с общим членом гармонического ряда. Имеем . Следовательно, данный ряд, как и гармонический, расходится. Окончательно можно утверждать, что данный ряд сходится условно.

104 Док-те, что ф-ция f (x)=e^x разлагается в ряд Маклорена на всей числовой оси.

F’(x)=e^x…fⁿ(x)=e^x…f⁽ⁿ⁾(x)=e^x

Xo=0, f(Xo)=F’(Xo)=f⁽ⁿ⁾(Xo)=…f⁽ⁿ⁾=1

F(x)=f(Xo)+f’(Xo)*(X-Xo)/1!+f’’(Xo)(X-Xo)²/2!+…f⁽ⁿ⁾(Xo)*(X-Xo)ⁿ/n!

E^x=f(x)=1+X/1!+X²/2!+….Xⁿ/n!

Радиус сх-ти признак Даламбера

R=lim│(n+1)!/n!│=lim │n+1│=∞ при n→∞ - ряд сходится на всей чмсловой прямой для люб X принадлежит R.

│f⁽ⁿ⁾(X)│=e^x<e^R→ e^R=M→limR_n(X)=0 → ряд сходится к e^x.

103 Сформулируйте достаточное условие разложимости ф-ции в ряд Маклорена. Док-те, что ф-ция f(X)=sinX разлаг в ряд Маклорена на люб интервале (-а;а).

Достаточное условие разложения функции в ряд Маклорена: пусть функция f(x) определена и бесконечно дифференцируема на интервале (-R,R). Если существует такая постоянная: M=const для любого х (-R, R)=> <M, n=0,1,2,… , то в этом интервале ряд Маклорена сводится к функции f(x).

F’(X)= cos X =sin(X+∏/2)

F’’(X)=-sin X = sin( X+2∏/2)

F’’’(X)=-cos X= sin( X+3∏/2)

……………………………….

F⁽ⁿ⁾(X)=sin (X+n*∏/2)

Xo=0,f(Xo)=0,F’(Xo)=1, F”(Xo)=0

F⁽ⁿ⁾(Xo)=sin(∏*n/2)= n=0,2,4,…,то =0

n=1,5……,то =1

n=3,7,11.., то =-1

sin X → X-X³/3!+X⁵/5!+…(-1)ⁿ*X²ⁿ⁺¹/(2n+1)!

Ряд будет сход для люб X, производные ограниченные: │F⁽ⁿ⁾(X)│≤1 │sin X+(n*∏)/2∏│≤1.

111 Сформулируйте теор о сущ и ед-нности решений задачи Коши для yр-я y’=f(x;y). Проверьте выполняется ли условие этой теоремы для задачи y’=5y+7x, y(0)=0/

Теорема о существовании и единственности решений задачи Коши: Если в ур-нии y’=f(x;y) a-ф-ция f(x;y) и частные производные f’_y(x;y) непрерывны в некотор. Обл d содержит точку (Xo;Yo), то сущ единственное решение y=β(X) этого ур удовл начальному условию Y(Xo)=Yo.

112 При каких усл решения задачи Коши y’=f(x;y), y(Xo)=Yo, сущ и единственно? В каких точках (Xo;Yo) эти условия выполняются для ур-я Y’=⁷√y ?

Если ф-ция f(X) непрерывна и f ‘ _y непрерывна, тогда f(x;y)=⁷√y –непрерывна.

F’_y=1/7*⁷√y⁶, имеет точку разрыва y=0, т.е. ф-ция непрерывна при всех значениях. Кроме y=0- это особое решение и во всех точках оси ОХ будут особые решения.

Dy/dx=⁷√y→ dy/⁷√y=dx→ ∫dy/⁷√y=∫dx

Y^6/7*7/6=X+C

Y=⁷√6*(X+C)⁶/7 при Х=-С, у=0

В каждой точке (-С;0) проходят решения и у=0→нарушается единственность решений!!!