70. Дайте определение выпуклого множества в Rn . Приведите примеры выпуклых множеств в r2 , объединение которых: а) является выпуклым множеством; б) не является выпуклым множеством.

Множество точек М называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками А и В, принадлежащими М, оно содержит весь отрезок АВ.

71. Докажите, что пересечение двух выпуклых множеств u , V . R2 является выпуклым множеством.

Пересечение конечного числа выпуклых множеств есть выпуклое множества.

Пусть F=U∩V. Пусть точки А и В принадлежат F.

Т.к. А принадлежит U и В принадлежит U, следовательно, весь отрезок АВ принадлежит U.

А принадлежит V и В принадлежит V, следовательно, АВ принадлежит V.

Следовательно [AB] принадлежат U ∩ V, следовательно F – выпуклое.

72. Дайте определение выпуклой функции нескольких переменных. Докажите, что если функции f (x) и g(x), определенные на выпуклом множестве X  Rn , являются выпуклыми, то их сумма f (x) + g(x) –также выпуклая функция.

Пусть функция z=f(x)=f(x₁….x_n) определена на выпуклом множестве D, тогда функция z=f(x) называется выпуклой на D, если для любых 2-х точек из множества D для любой α, β принадлежащих [0,1] таких, что α+β=1,выполняется неравенство: f(αA+βB)≤αf(A)+βf(B).

Пусть a,b ∈X, α∈[0,1]

f(αa+(1-α)b)≤αf(a)+(1-α)f(b)

g(αa+(1-α)b)≤αg(a)+(1-α)g(b)

Пусть h(x)+g(x) (x∈X) - сумма функций f и g.

Сложим неравенства:

h(αa+(1-α)b)≤αh(a)+(1-α)h(b), означающее выпуклость функции h(x). Если хотя бы одно из неравенств является строгим, то сумма их также является строгим, что доказывает строгую выпуклость h(x), когда хотя бы одна из выпуклых функций f(x) или g(x) является строго выпуклой

73. Дайте определение первообразной. Может ли первообразная иметь точку разрыва?

Функция F(x) называется первообразной для функции y=f(x) на некотором промежутке X, если для всех значений xєX выполняется равенство F’(x)=f(x).

Да, может. Пример:

Первообразная для f(x)=1/x² F(x)=-1/x+C – в точке x=0

74. Докажите, что если F1(x) и F2 (x) - первообразные функции f (x) на интервале X , то F2 (x) = F1(x) + C , где C - некоторая постоянная.

Теорема: любые две первообразные для данной функции отличаются только постоянным слагаемым.

Доказательство. Пусть F₁(x) и F₂(x) – первообразные для функции f(x). В силу определения первообразной имеем F₁’(x)=f(x) и F₂’(x)=f(x) при любом значении x из отрезка дифференцируемости функции f(x).

Составим разность F₂(x) - F₁(x) и найдем производную этой разности.

(F₂(x) - F₁(x))’= F₁’(x)- F₂’(x)=f(x) – f(x)=0

Нулю равна только производная константы. Значит F₂(x)- F₁(x)=С или F₂(x)=F₁(x)+С, где С - некоторая постоянная.

75. Дайте определение неопределенного интеграла. При каких условиях справедливо равенство . ( f (x) + g(x))dx = . f (x)dx + . g(x)dx?

Если функция F(x) является первообразной для функции f(x), то совокупность первообразных F(x)+C называется неопределенным интегралом от функции f(x).

Теорема: неопределенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е. ∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx.

Доказательство. Дифференцируя левую часть равенства, получим:

(∫(f(x)+g(x))dx)’=f(x)+g(x),

производная правой части

(∫f(x)dx+ ∫g(x)dx)’=(∫f(x)dx)’+(∫g(x)dx)’=f(x)+g(x)

Производные равны, значит мы получили верное равенство, значит ∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx.

76. Сформулируйте свойства неопределенного интеграла. Докажите,что d(. f (x)dx)= f (x)dx.

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

(∫f(x)dx)’=f(x)

(∫f(x)dx)’=(F(x)+C)=f(x)

d∫f(x)dx=(∫f(x)dx)’dx=f(x)dx

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.е.

∫dF(x)=F(x)+C

3. Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, точнее, если k≠0, то

∫kf(x)dx=k∫f(x)dx

4. Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых, т.е.

∫(f₁(x)+f₂(x))dx=∫f₁(x)dx+∫ f₂(x)dx