9. Дайте определение бесконечно малой (бм) послед-и. Приведите примеры бм послед-ей, отношение которых: а) является бм послед-ью; б) не является бм послед-ью.

Послед-ь {αn} называется бм, если lim (n→∞) αn = 0.

Для любого ε > 0, сущ. N, такое, что для любого n ≥ N | αn | < ε.

а) 1/n, 1/ ^4√n – бм послед-и: ^4√n/ n = n^-3/4 – бм послед-ь

б) n/ ^4√n = n^3/4 - не бм послед-ь

10. Докажите, что произведение бм и ограниченной послед-ей является бм послед-ью.

док-во:

Пусть {Хn} – ограниченная, а {αn} – бм послед-и. Доказать, что {Xn * αn} – бм. Так как {Хn} ограниченна, то существует число А > 0 такое, что любой элемент Хn удовлетворяет неравенству | Хn | ≤ А. Возьмем любое ε > 0. Поскольку {αn} – бм, то для положительного числа ε/А существует номер N такой, что при n > N выполняется неравенство | αn | < ε/А. Тогда при n > N |Xn * αn | = |Xn| * | αn | < A * ε/A = ε. Это означает, что послед-ь {Xn * αn} – бм.

11. Докажите, что lim (n→∞) Xn = 0 тогда и только тогда, когда lim (n→∞) |Xn| = 0.

1) lim (n→∞) Xn = 0 => бм => для любого ε > 0, сущ. N, для любого n ≥ N: | Xn – a | < ε,

| Xn| < ε

2)||Xn| - a| <ε, || Xn || < ε, | Xn| < ε

12. Дайте определение бесконечно большой (бб) послед-и. Что означает запись «lim (n→∞) Xn = +∞»? Докажите, исходя из определения, что lim (n→∞) √n + 9 = +∞.

1) Послед-ь {Xn} называется бб, если для любого положительного числа А существует номер N такой, что при n > N выполняется неравенство |Xn| > A. (lim (n→∞) Xn = ∞ ).

Для любого A > 0, сущ. N, для любого n ≥ N: |Xn| > A.

2) Если, начиная с некоторого номера, все Xn > 0, то lim (n→∞) Xn = +∞ (Xn > A).

3) √n + 9 > A => √n + 9 > 0 => lim (n→∞) √n + 9 = +∞; N = [A² - 9] + 1.

13. Всякая ли неограниченная послед-ь является бесконечно большой? Ответ обоснуйте.

Любая бб послед-ь является неограниченной. Однако неограниченная послед-ь может и не быть бб послед-ью. Например, неограниченная послед-ь 1, 2, 1, 3 .., 1, n, 1, n + 1 … не является бб, поскольку при А > 1 неравенство |Xn| > A не имеет места для всех элементов Xn с нечетными номерами.

14. Приведите пример двух бесконечно больших послед-ей, сумма которых является бесконечно малой послед-ью.

1. {аn}= (n + 1) + 1/(2 ^n+1) : 2 + ¼; 3 + 1/8; 4 + 1/16… - бб послед. (Xn > 0 => lim (n→∞) Xn = + ∞)

2. {bn}= -(n+1): -2; -3; -4…- бб послед. (Xn < 0 => lim (n→∞) Xn = - ∞)

{an + bn}: ¼; 1/8; 1/16 – бм послед-ь

15. Дайте определение убывающей послед-и. Что можно сказать о пределе убывающей послед-и, если она: а) ограничена снизу; б) не ограничена? Ответ обоснуйте.

Послед-ь {Xn} – убывающая т. и т. т., когда для любого n Xn+1 < Xn

1. если Xn ограничена снизу, то lim (n→∞) Xn = a (inf X), мы имеем нижнюю грань

2. если Xn не ограничена, то lim (n→∞) Xn = - ∞, нет предела.

16. Дайте определение предела функции в точке. Найдите, исходя из определения , lim (x→1) (7x + 3)/x² + 7. Приведите пример функции, не имеющей предела в точке x = 1.

1) Число а называется пределом функции f (x) в точке X0 (или пределом при X→ X0) если для любой сходящейся к точке X0 послед-и значений аргумента, отличных от X0, соответствующая послед-ь значений функции сходится к числу а, т. е.

lim Xn = X0 (Xn ≠ X0) => lim f(Xn) = a; lim (X→ X0) f(x) = a.

2) lim (x→1) (7x + 3)/x² + 7 = 5/4

3) y = x/x - 1 – функция, не имеющая предела в точке X = 1 (уходит в разные стороны, дробно-линейная функция).