- •Предисловие
- •Программа курса «Молекулярная физика. Термодинамика.»
- •2. Учебно-тематический план
- •3. Содержание курса
- •4. Примерная тематика семинарских занятий
- •5. Средства обеспечения дисциплины
- •Введение
- •Все вещества состоят из атомов или молекул
- •Атомы и молекулы веществ находятся в состоянии беспорядочного движения
- •Между атомами и молекулами вещества действуют как силы притяжения, так и силы отталкивания.
- •Глава 1 Термодинамика
- •§1. Температура и термодинамическое равновесие
- •Давление
- •§2. Уравнение состояния идеального газа
- •§3. Законы идеальных газов
- •Изотермический процесс
- •Изобарический процесс
- •Закон Авогадро
- •Закон Дальтона
- •§4. Первое начало термодинамики
- •§5. Макроскопическая работа
- •I начало термодинамики для системы в адиабатической оболочке
- •§6. Внутренняя энергия
- •§7. Количество теплоты. Математическая формулировка первого начала термодинамики
- •§8. Различные приложения I начала термодинамики. Теплоёмкость
- •§9. Внутренняя энергия идеального газа. Закон Джоуля
- •Уравнение Роберта Майера
- •§10. Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона
- •Работа при адиабатическом изменении объёма газа
- •§11. Политропический процесс
- •Вопросы и задания для самостоятельной работы студентов Основы термодинамики. I начало термодинамики
- •§12. II начало термодинамики
- •Различные формулировки основного постулата, выражающего II начало термодинамики
- •§13. Равновесные состояния
- •§14. Обратимые и необратимые процессы
- •Необратимость и вероятность
- •§15. Цикл Карно
- •Коэффициент полезного действия в цикле Карно
- •§16. Холодильная машина
- •§17. Свободная энергия
- •§18. Энтропия
- •§19. Некоторые термодинамические соотношения
- •§20. Закон возрастания энтропии. Второе начало термодинамики
- •Увеличение энтропии при теплопередаче
- •§21. Энтропия и вероятность
- •§22. Энтропия и беспорядок
- •§23. Третье начало термодинамики
- •Вопросы для контроля самостоятельной работы студентов
- •II начало термодинамики. Энтропия.
- •Глава 2. Неравновесная термодинамика §1. Основные принципы линейной термодинамики
- •§2. Нелинейная термодинамика
- •§3. Принцип синергетики
- •Свойства и примеры самоорганизации диссипативных структур
- •Глава 3. Статистическая физика и её применение к идеальному газу
- •§1. Давление газа с точки зрения молекулярно – кинетической теории
- •§2. Температура как мера средней энергии хаотичного движения молекул
- •Скорость газовых молекул
- •§3. Броуновское движение
- •§4. Кинетическая теория теплоты Внутренняя энергия идеального газа
- •§5. Классическая теория теплоёмкости и её недостатки
- •§6. Барометрическая формула
- •Закон Больцмана
- •§7. Распределение молекул по скоростям
- •§8. Функция распределения
- •§9. Формула Максвелла
- •§10. Средняя арифметическая, средняя квадратичная и наивероятнейшая скорости молекул
- •§11. Среднее число молекул, сталкивающихся со стенкой сосуда
- •Вопросы для контроля знаний студентов Молекулярно-кинетическая теория
- •Глава 4. Явления переноса §1. Столкновение молекул и явления переноса
- •§2. Среднее число столкновений в единицу времени и средняя длина свободного пробега молекул
- •§3. Рассеяние молекулярного пучка в газе
- •§4. Явление переноса в газах. Уравнение переноса
- •§5. Диффузия
- •§6. Нестационарная диффузия
- •§7. Теплопроводность газов
- •§8. Вязкость газов (внутреннее трение)
- •§9. Соотношения между коэффициентами переноса
- •§10. Физические явления в разреженных газах
- •Вопросы для самостоятельного контроля знаний студентов Явления переноса
- •Глава 5 §1. Неидеальные газы. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Отклонение свойств газов от идеальности
- •Уравнение Ван-Дер-Ваальса
- •§2. Учет сил отталкивания между молекулами
- •§3. Учет сил притяжения между молекулами
- •§4. Изотермы Ван-дер-Ваальса
- •§5. Критическая температура и критическое состояние
- •§6. Недостатки уравнения Ван-дер-Ваальса
- •§7. Внутренняя энергия газа Ван-дер-Ваальса
- •§8. Приведенное уравнение Ван-дер-Ваальса. Закон соответственных состояний
- •§9. Сжижение газов
- •Эффект Джоуля-Томсона
- •Вопросы для самоконтроля изученного материала Реальные газы
- •Глава 6. Жидкое состояние §1.Строение жидкостей
- •§2. Поверхностное натяжение
- •§3. Условия равновесия на границе двух сред. Краевой угол
- •§4. Граница жидкости и твердого тела
- •§5. Силы, возникающие на кривой поверхности жидкости
- •§6. Капиллярные явления
- •§7. Упругость насыщенного пара над кривой поверхностью жидкости
- •Вопросы для самоконтроля знаний студентов
- •Глава 7. Жидкие растворы §1. Свойства растворов
- •§2. Упругость насыщенного пара над идеальным раствором
- •§3. Закон Генри
- •§4. Осмотическое давление
- •Глава 8. Кристаллическое состояние §1. Отличительные черты кристаллического состояния
- •§2. Классификация кристаллов
- •§3. Физические типы кристаллических решеток
- •§4. Тепловое движение в кристаллах
- •Глава 9. Фазовые переходы §1. Фаза и фазовые равновесия
- •§2. Условия равновесия фаз химически однородного вещества
- •§3. Уравнение Клапейрона
- •Вопросы для самоконтроля знаний студентов
- •Содержание
Скорость газовых молекул
Введём понятие среднеквадратичной скорости ср.кв., определив следующим образом:
Тогда из уравнения (3.11) получим выражение для среднеквадратичной скорости
, (3.14)
которая для данного газа зависит только от температуры. Отметим, что в этой формуле m-это масса одной частицы.
Перепишем формулу (3.14), используя следующие преобразования
. (3.15)
Здесь m=mNA – молярная масса газа. Так как для одного моля идеального газа RТ=PV, а , где – плотность газа, имеем
. (3.16)
Выражение (3.16) не означает, что ср.кв. зависит от давления газа и его плотности. В это уравнение входит отношение , а так как давление и плотность изменяются одинаково, то их отношение не зависит ни от плотности, ни от давления.
Скорость ср.кв. того же порядка, что и скорость звука в газе, которая определяется как
,
где g - адиабатическая постоянная.
Обе скорости связаны соотношением
.
Из формулы (3.15) для молекулярного водорода (m=2,016кг/кмоль) при температуре 0oС получим следующее значение .
§3. Броуновское движение
Одним из наиболее убедительных подтверждений основ молекулярно-кинетической теории является броуновское движение. Это явление было открыто в 1827 году английским ботаником Броуном. Оно заключается в том, что все мельчайшие частицы, взвешенные в жидкости, находятся в непрерывном движении. Характер броуновского движения зависит от свойств жидкости и газа, в которых взвешены частицы, но не зависит от свойств вещества самих частиц. Скорость движения броуновских частиц возрастает с повышением температуры и с уменьшением размеров частиц. Все эти закономерности легко объяснить, если мы примем, что движения взвешенных частиц возникают вследствие ударов, испытываемых ими со стороны беспорядочно движущихся молекул жидкости или газа, в которых они находятся.
Броуновское движение объясняется тем, что благодаря хаотичному движению молекул, число ударов молекул на взвешенную частицу с разных сторон не будет одинаковым, в результате возникает некоторая равнодействующая сила определенного направления. Это приводит к движению броуновской частицы по направлению этой силы. Через короткий промежуток времени направление равнодействующей силы изменится и вместе с тем изменится направление движения частицы. Отсюда следует хаотичное движение броуновских частиц, отражающая хаотичность молекулярного движения. Вероятность возникновения равнодействующей силы, связанной ударами молекул о частицу тем больше, чем меньше размеры частиц.
Рассмотрим количественную теорию броуновского движения, созданную Эйнштейном и независимо Смолуховским.
Вследствие неполной компенсации ударов молекул на броуновскую частицу действует, как мы указали выше, некоторая результирующая сила , под действием которой и частица движется. Кроме этой силы на частицу действует сила трения , вызванная вязкостью среды и направленная против силы . Для простоты предположим, что броуновские частицы имеют форму сферы радиуса . Тогда сила трения может быть выражена формулой Стокса:
, (3.17)
где - коэффициент вязкости среды, - скорость движения частицы. Уравнение движения частицы запишется в виде:
. (3.18)
Здесь - масса частицы, - радиус-вектор относительно произвольной системы координат, - скорость частицы.
Рассмотрим проекцию радиус-вектора на ось Х. Для этой составляющей уравнение (3.18) перепишется в виде:
, (3.19)
где - проекция результирующей силы на ось Х.
Наша задача определить смещение броуновской частицы, которое она получит под действием ударов молекул. Различные частицы получают смещение, отличающиеся как по величине, так и по направлению. Вероятное значение суммы смещений всех частиц равно нулю, так как смещения с одинаковой вероятностью могут быть как положительными, так и отрицательными. Среднее значение смещения частиц также будет также равно нулю. Но не будет равно нулю среднее значение квадрата смещения . Преобразуем уравнение (3.19) так, чтобы в него входила величина . Для этого умножим обе части этого уравнения на :
. (3.20)
Используем очевидные тождества:
.
Поставив это выражение в (3.20), получим:
.
Это равенство для любой частицы и поэтому она справедлива также для средних значений входящих в него величин, если усреднение вести по достаточно большому числу частиц. Поэтому можно записать:
.
- среднее значение квадрата составляющей скорости частицы по оси Х. Для большого числа частиц и одинаково часто принимают как положительные, так и отрицательные значения, поэтому . Уравнение (3.19) примет вид:
. (3.21)
Так как движения частиц вполне хаотичны, средние значения квадратов составляющих скорости по всем трем координатным осям должны быть равны друг другу, т.е.
.
Очевидно, что
,
где - среднее значение квадрата скорости частицы, откуда следует
.
Таким образом, интересующее нас выражение, входящее в (3.21), равно:
,
где - средняя кинетическая энергия броуновской частицы.
Сталкиваясь с молекулами жидкости или газа, броуновские частицы обмениваются с ними энергией, и находятся в тепловом равновесии со средой, в которой они находятся. Поэтому средняя кинетическая энергия поступательного движения броуновской частицы должны быть равна средней кинетической энергии молекул жидкости или газа, которая равно, как известно, :
.
Следовательно
. (3.22)
Учитывая (3.22), уравнение (3.21) перепишется в виде:
. (3.23)
Это уравнение легко интегрируется. Обозначив , получим:
.
После разделения переменных, имеем:
.
Интегрируя левую часть этого уравнения в пределах от 0 до z, а правую от 0 до t, получим:
.
Или
.
Отсюда
.
Из этого выражения получим, что
.
Величина ничтожно мала, если отрезок времени между последовательными наблюдениями за частицей превышает 10-5 сек., что, конечно, всегда имеет место. Тогда можем записать:
. (3.24)
Для конечных промежутков времени и соответствующих перемещений , уравнение (3.24) можно переписать в виде:
.
Тогда
. (3.25)
Среднее значение квадрата смещения броуновской частицы за промежуток времени вдоль оси Х или другой любой оси, пропорционально этому промежутку времени. Формула (3.25) позволяет вычислить средние значения квадрата перемещений по всем частицам, участвующим в явлении. Но эта формула справедлива и для среднего значения квадрата многих последовательных перемещений одной единственной частицы за равные промежутки времени.