§22. Простейшие звенья

Уравнения простейших звеньев содержат по одному слагаемому в левой и правой части, причем порядок производных не превышает первого. Любые другие звенья можно представить как соединение простейших звеньев, а простейшие звенья можно подразделить на 3 вида:

• безинерционное (пропорциональное),

• интегрирующее,

• дифференцирующее идеальное.

Безинерционное (пропорциональное) описывается уравнением y=kx.

Передаточная функция и от s не зависит (k – коэффициент передачи).

Данное звено создает на выходе величину, пропорциональную входной в любой момент времени. Основные динамические характеристики (функции):

h(t)=k1(t)

A(ω)=k=const

φ(ω)=0

АФХ W(jω) вырождается в точку.

Примеры: 1). Любые безинерционные усилители, в частности операционные (ОУ) без емкости и индуктивности.

.

2). Делитель напряжения(ДН), рычажные и зубчатые передачи.

Интегрирующее.

Его выходная величина пропорциональна интегралу от входной: или .

Переходя к изображениям по Лапласу при нулевых начальных условиях получаем: sY(s)=kX(s). Отсюда передаточная функция

.

Если x(t)=1(t), y(0)=0(ННУ), то h(t)=kt1(t). Отсюда путем дифференцирования w(t)=k1^.(t).

П олучим ЧХ, подставив s=jω в W(s): , т.е. АФХ совпадает с отрицательной мнимой полуосью.

- гипербола, - const.

Примеры: интегрирующий ОУ

.

2). Вал любого двигателя является интегрирующим звеном, если входной величиной считать угловую скорость  а выходной – угол поворота  .

Дифференцирующее имеет уравнение .

Для изображения Y(s)=ksX(s), откуда W(s)=ks. С точностью до постоянного множителя передаточные функции интегрирующего и дифференцирующего звеньев обратны, отсюда противоположны их свойства и вид ЧХ.

Переходная функция: ,чему соответствует переходная характеристика в виде δ - функции площадью k.

Дельта-функция не может быть создана реальными устройствами, т.к. для этого требуется бесконечная мощность. Поэтому дифференцирующее звено в идеальном виде физически нереализуемо.

Частотные функции и характеристики:

, A(ω)=k^.ω,

ЛАХ дифференцирующего звена:

L_Д(ω)=20lgkω=20lgk+20lgω

Для сравнения ЛАХ интегрирующего

звена:

.

Эти ЛАХ - прямые с наклоном +20 дБ/дек для дифференцирующего и -20 дБ/дек для интегрирующего. Единицу измерения наклона дБ/дек на графиках можно не указывать.

Примеры 1). Операционный усилитель.

2).Тахогенератор (ТГ)

, Угол поворота α - вход.

3). Индуктивность 4). Емкость

u

C

§23. Типовые звенья 1-го порядка

Их виды:

• инерционное,

• форсирующее,

• инерционно – дифференцирующее,

• инерционно – форсирующее.

Инерционное звено

Оно имеет следующее уравнение и передаточную функцию:

,

где Т постоянная времени, k-коэффициент передачи.

Найдем переходную характеристику, используя классический метод решения дифференциальных уравнений. Общее решение находится как сумма частного решения данного уравнения h_уст(t) и общего решения h_пер(t) соответствующего однородного уравнения:

h(t)=h_уст(t)+ h_пер(t),

Находим установившуюся составляющую: , h_уст=k=const.

Решаем однородное уравнение

, где h_пер ищется в виде: h_пер(t)=C^. , где определяется как корень характеристического уравнения Ts+1=0. После подстановки получим , т.е. экспоненту.

Найдем постоянную интегрирования, учитывая ННУ (т.е. h(0)=0).

Получим С=-k и окончательно .