§15. Направленные графы звеньев и их соединений

Они позволяют заменить структурные схемы и используют два обозначения: вершина (величина) и ребро со стрелкой (передача воздействия между вершинами). Понятие передачи является для графа аналогичным передаточной функции.

Граф можно составить по уравнению или по соот­ветствующей структурной схеме (см. выше).

Примеры

1) Задано уравнение , из которого , чему и соответствует следующий граф:

2 ) Последовательное соединение:

3

W₁

) Параллельное соединение:

W₂

W₃

4) Встречно-параллельное соединение c ООС:

§16. Универсальное правило нахождения передаточных функций одноконтурных и многоконтурных систем

Это правило (правило Мейсона) позволяет без предварительного упрощения находить передаточную функцию графа или структурной схемы по любому каналу. При этом используется понятие передачи контура и передачи прямого пути.

Передача контура - произведение передаточных функций всех ребер (звеньев), образующих замкнутый контур, включая сюда и (-1), если ОС отрицательна.

Передача прямого пути - это как обычно произведение передач ребер (звеньев), которые встречаются на пути от входа к выходу по направлению передачи воздействия. Прямых путей может быть несколько.

Формула передаточной функции:

где

W_ki, W_kj, W_kl … - передачи контуров,

- сумма передач всех контуров,

, ...- суммы произведений передач пар, троек,...., несоприкасающихся контуров.

Несоприкасающимися считаются контуры, которые не содержат общих элементов, т.е. вершин и ребер для графа, звеньев и сумматоров для обычной структурной схемы.

W_пр.т- передача m-го прямого пути между входом и выходом.

∆_т- определитель, получающийся из ∆ путем исключения (заменой на нуль) передач всех контуров, соприкасающихся с m-м прямым путем.

Пример

Найти передачу графа между входом g и выходом y.

W_k1= -W₁W₂,

W_k2=W₂W₃,

W_пр1=W₁W₂W₃,

∆=1+W₁W₂-W₂W₃, ∆₁=1

Учитывая, что граф имеет 2 контура, соприкасающихся между собой и с единственным прямым путем, найдем .

По общей формуле получаем известный результат:

.

§17. Виды динамических характеристик. Временные характеристики

Динамические характеристики определяют свойства звена или системы при изменении во времени входных и выходных величин. Название «характеристика» соответствует графическому представлению, «функция» - аналитическому. Их общая классификация показана на схеме.

Динамические характеристики (функции)

Временные

Частотные

Переходная

h(t)

Весовая

w(t)

Амплитудная частотная

(АЧХ)

A(ω)

Фазовая частотная

(ФЧХ)

φ(ω)

Амплитудно –фазовая

(АФХ)

W(jω)

Временные характеристики представляют собой реакции звена или системы на типовые воздействия при нулевых начальных условиях. Пусть задано звено (система):

Переходная характеристика (функция) - переходный процесс изменения выходной величины при единичном ступенчатом воздействии на входе и нулевых начальных условиях: h(t)=y(t) при x(t)=1(t) и нулевых начальных условиях (ННУ).

Е

при t<0,

при t≥0,

диничное ступенчатое воздействие

и меет график:

Его изображение по Лапласу: . Поэтому изображение по Лапласу переходной функции: .

Весовая (импульсная переходная) характеристика(функция) - переходный процесс изменения выходной величины при единичном импульсном входном воздействии и нулевых начальных условиях: w(t)=y(t) при x(t)=δ(t) и ННУ. Единичное импульсное воздействие (единичная дельта-функция):

Поэтому изображение по Лапласу такой функции

.

Можно рассматривать единичную дельта – функцию δ(t) как предел прямоугольного импульса (t) единичной площади, когда его продолжительность стремится к 0 в окрестности точки t=0: .

На графиках функцию δ(t) условно показывают в виде стрелки, высота которой принята за единицу и характеризует площадь:

Эту функцию можно рассматривать так же, как производную от 1(t): .

Соответственно весовая функция будет равна первой производной от переходной: . Изображение по Лапласу w(t) будет равно передаточной функции, т.е. L{w(t)}=W(s), т.к. L{δ(t)}=1.

Функция w(t) позволяет определить реакцию звена или системы на произвольное внешнее воздействие.

Л юбое воздействие можно представить как бесконечную сумму импульсов, имеющих амплитуду x(τ) и длительность dτ, где 0≤τ≤∞. Действие каждого из этих бесконечно малых по длительности и площади импульсов на систему будет пропорционально их площади и эквива-лентно действию δ – функции соответствующей площади (площадь равна x(τ)dτ).

Реакция на такую δ - функцию в соответствии с понятием весовой функции равна: x(τ)^.w(t-τ)dτ.

Реакция на входное воздействие вцелом определяется как бесконечная сумма бесконечно малых слагаемых, т.е. (анализ показывает, что можно поставить пределы -∞ и +∞).

Этот интеграл называют интегралом свертки функций x(t) и w(t) и ему соответствует известная формула умножения изображений: Y(s)=X(s)W(s).