4. Простые проценты

При начислении простых %-в на протяжении всего срока базой для начисления служит исходная сумма.

Используются простые %:

1. при краткосрочных операциях, обычно меньше года

2. когда % выплачиваются сразу после их зачисления

Пусть Р- исход сумма, i –годовая ставка простых %, n – срок операции в годах, S – наращ. сумма.

Р—>P+Pi—>P+Pi+Pi—>P+Pi*n=P(1+in) S=P(1+in)

I –процентные деньги I=P*i*n=S-P

M – множитель наращения % M=1+in

Дробный срок - если срок операции не равет целому числу лет, то его вычисляют по формуле t –кол-во дней, k –продолжительность года.

t бывает 2-х видов:

- точное число дней,тогда % наз-ся, % с точ-ми числом дней

- с приближ-м числом днейпримин-ся 30 дней в каждом мес

k бывает 2-х видов

- равно 65 дней или 66 дней, в этом случае % наз-ся точными

-360 дней – обыкнов %

Переменная ставка

Предположил, что весь срок ссуды n разбит на s промежутков длительностью n_i каждый n= В каждом промежутке действует ставка i_i.

Тогда S=P+Pn₁i₁+Pn₂i₂+…+Pn_Si_S или S=P(1+ )

Реинвестирование, когда за базу при начислении % на очередном промежутке принимается не первоначальная сумма, а наращенная сумма, полученная на предыдущем промежутке. S=P(1+ n₁i₁)(1+ n₂i₂)…(1+ n_Si_S)

3. Сложные проценты (определение, вывод формул наращения по сложным процентам, сравнение простых и сложных процентов, дробный срок, переменная ставка). Случай с начислением процентов несколько раз в год (определение номинальной ставки процентов, формула наращения). (5)

5. Сложные проценты

При начислении сложных процентов базой служит сумма с начисленными в предыдущем периоде процентами, т. е проценты прибавляются к базовой сумме(капитализации)

А процент ставка, наз-ся сложной

n лет S=P(1+n₁)…(1+i_kn_k) S=P(1+i)(1+i)…(1+i)=P(1+i)ⁿ

На долгий срок банку выгодно давать кредит под сложные проценты, а на короткий под простые.

Дробный срокПусть n не целое n=a+b,где a целое, b дробное

Наращение суммы можно вычислить след способами:

1. по формуле сложных % S=P(1+i)ⁿ

2. комбинированный- по целой части срока начисляются сложные %, а по дробной простые S=P(1+i)^a(1+i*b)

3. без учета дробной части S=P(1+i)^a

Переменная ставка S=P * …

Начисление процентов несколько раз в год

Если сложные проценты начисляются несколько раз в год, напр ежеквартально или ежемес-но, то S=P(1+ )^mn, где

j-годовая % ставка m – кол-во начислений % в год

4. Формулы увеличения наращенной суммы в несколько раз (вывод формул). Эффективная процентная ставка (определение, вывод формул). (7-8)

7. Формулы увеличения суммы долга в n раз.

Простые %

S= P(1+in) S=N*P NP= P(1+in) N=1+in n=N-1/i

Сложные %

S= P(1+i)ⁿ S=N*P N= (1+i)ⁿ n ln(1+i)= ln N n=ln N/ ln(1+i)

Непрерывные %

S= S=N*P =N n=

8. Эффективная процентная ставка

Эф ставка – хар-ка доходности финн операции, измеримая в виде годов ставки сложных процентов

При начислении простых процентов

(1+in)= (1+i_ef)ⁿ (1+in)^1/n=1+i_ef i_ef=(1+in)^1/n-1

При многоразовом начислении сложных процентов

(1+ )^mn=(1+i_ef)ⁿ (1+ )^m=1+i_ef i_ef=(1+ )^m-1

Непрерывные проценты

=(1+i_ef)ⁿ i_ef= -1

Для сравнения различных вариантов начисления процентов достаточно вычислить и сравнить их эффективные ставки

5. Математическое дисконтирование (задача математического дисконтирования, вывод формул дисконтирования по простым и сложным процентам). Банковский учет (определение, формулы учета по простым и сложным учетным ставкам). (9-10)