- •1.Уравнение в частных производных
- •2.Основные типы уравнений
- •3.Линейное однородное ду в частных производных первого порядка
- •4.Вывод уравнения колебаний струны методом Фурье
- •5.Задачи Коши
- •6.Решение уравнений колебаний струны методом Фурье
- •7.Решение волнового уравнения методом д′Аламбера
- •8.Уравнение теплопроводности для однородного стержня
- •9.Уравнение теплопроводности в пространстве
- •10.Распростронение тепла в неограниченном стержне. Интервал Пуасснова
- •11.Задачи приводящие к уравнению Лапласа
- •12.Задачи Неймана и Дирихле
- •Внешняя задача Неймана
- •13.Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге методом Фурье
- •14.Случайное событие. Относительная частота случайного события. Вероятность события.
- •15.Теорема я.Бернулли
- •16.Совместные и несовместимые события. Полная группа парами несовместимых событий
- •17.Геометрическая интерпретация событий
- •18.Операции над событиями
- •19.Аксиомотическое определение вероятности
- •20.Теорема о сложении вероятностей. Примеры
- •21.Геометрическая интерпретация вероятностей. Вывод формулы для суммы совместимых событий
- •22.Умножение вероятностей
- •23.Условная вероятность
- •Определение
- •Замечания
- •24.Полная вероятность. Формула Байеса
- •25.Дискретные случайные величины и их характеристики
- •26.Относительная частота и вероятность для дискретных случайных величин
- •27.Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •28.Дисперсия, средневековое отклонение, моменты дискретной случайной величины
- •Определение
- •Замечания
- •Свойства
- •29.Непрерывные случайные величины. Функция распределения и плотности вероятности
- •30.Теорема о связи функции распределения с плотностью вроятности
- •31.Интегральный закон распределения. Интегральная кривая
- •32.Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •33.Медиана и мода
- •34.Нормальный закон распределения
- •35.Медиана и мода нормального закона распределения
- •36.Интеграл вероятностей
- •37.Свойства интеграла вероятностей
- •38.Функция Лапласа
- •39.Среднее отклонение и средняя ошибка
- •40.Приведенная функция Лапласа
- •41.Правило трех сигм
- •42.Закон больших чисел. Предельные теоремы
- •43.Задачи математической статистики. Выборка, эмпирическая функция распределения
- •44.Статистический ряд и гистограмма
- •45.Среднее взвешенное и статистическая дисперсия
- •46.Точечные оценки
- •47.Распределение Пуасона
- •48.Распределение Стьюдента
- •49.Основные свойства точечной оценки
- •50.Исправленная выборочная дисперсия
- •51.Стандартная ошибка среднего арифметического
- •52.Интервальные оценки параметров распределения
- •53.Доверительный интервал, границы
- •54.Проверка статистических гипотез
- •55.Корреляционный анализ
- •56.Регрессионный анализ
26.Относительная частота и вероятность для дискретных случайных величин
27.Математическое ожидание дискретной случайной величины
Рассмотрим сначала следующий пример. Пусть на завод поступила партия, состоящая из N подшипников. При этом: m1 - число подшипников с внешним диаметром х1, m2 - число подшипников с внешним диаметром х2, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mn - число подшипников с внешним диаметром хn,
Здесь m1+m2+...+mn=N. Найдем среднее арифметическое значение xср внешнего диаметра подшипника. Очевидно, Внешний диаметр вынутого наудачу подшипника можно рассматривать как случайную величину , принимающую значения х1, х2, ..., хn, c соответствующими вероятностями p1=m1/N, p2=m2/N, ...,pn=mn/N, так как вероятность pi появления подшипника с внешним диаметром xi равна mi /N. Таким образом, среднее арифметическое значение xср внешнего диаметра подшипника можно определить с помощью соотношения
Пусть - дискретная случайная величина с заданным законом распределения вероятностей
Значения |
х1 |
х2 |
. . . |
хn |
Вероятности |
p1 |
p2 |
. . . |
pn |
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма парных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности, т.е. *
|
(39) |
Возвращаясь к разобранному выше примеру, мы видим, что средний диаметр подшипника равен математическому ожиданию случайной величины - диаметру подшипника. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью распределения называется число, определяемое равенством
|
(40) |
При этом предпологается, что несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (40) существует. Рассмотрим свойства математического ожидания. При этом ограничимся доказательством только первых двух свойств, которое проведем для дискретных случайных величин. 1°. Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной. Доказательство. Постоянную C можно рассматривать как случайную величину , которая может принимать только одно значение C c вероятностью равной единице. Поэтому 2°. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.
Доказательство. Используя соотношение (39), имеем
3°. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:
|
(41) |
4°. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин **:
|
(42) |
* в случае, если множество возможных значений дискретной случайной величины образует бесконечную последовательность x1, x2, ..., xn, ..., то математическое ожидание этой случайной величины определяется как сумма ряда
причем требуется, чтобы этот ряд абсолютно сходился. ** Под суммой (произведением) двух случайных величин и понимают случайную величину
, возможные значения которой состоят из сумм (произведений) каждого возможного значения величины и каждого возможного значения величины .