1.5.Представление числовой информации.

В вычислительных машинах применяются две формы представления двоичных чисел:

• естественная форма или форма с фиксированной запятой (точкой);

• нормальная форма или форма с плавающей запятой (точкой).

С фиксированной запятой все числа изображаются в виде последовательности цифр с постоянным для всех чисел положением запятой, отделяющей целую часть от дробной. Форма с фиксированной запятой используется для хранения целых чисел. В этом случае каждому разряду ячейки памяти соответствует всегда один и тот же разряд числа, а «запятая» находится справа после младшего разряда, т.е. вне разрядной сетки.

Для хранения целых чисел без знака отводится 1 ячейка памяти (8 бит).

Пример:

7

6

5

4

3

2

1

0

н

Номер разряда

омер разряда

поле числа

Число А=11011011₂ будет храниться в ячейке памяти следующим образом:

1

1

0

1

1

0

1

1

Для хранения целых чисел со знаком отводится две ячейки памяти (16 бит).

Так как числа бывают положительные и отрицательные, то первый разряд сетки отводится под знак числа: для положительных чисел – «0», для отрицательных – «1». Число в разрядной сетке располагается так, что его самый младший двоичный разряд записывается в крайний правый бит. Если количество разрядов в разрядной сетке превышает количество разрядов числа, оставшиеся разряды заполняются нулями.

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Знак числа

Поле числа

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

1

0

В=-11111010010₂

Обычно целые числа занимают в памяти ЭВМ 1, 2 или 4 байта. Диапазоны чисел, которые могут храниться в такой разрядной сетке представлен в таблице:

Формат с фиксированной запятой
Формат	Количество разрядов, отводимое для хранения числа	Интервал чисел
Целые числа без знака	1 байт	0..255
	2 байта	0..65536
Целые числа со знаком	2 байта	-32768..32767
	4 байта	-2147483648..2147483647

Эта форма наиболее проста, естественна, но имеет небольшой диапазон представления чисел и поэтому не всегда приемлема при вычислениях. Если в результате операции получится число, выходящее за допустимый диапазон, происходит переполнение разрядной сетки, и дальнейшие вычисления теряют смысл. В современных ЭВМ естественная форма представления используется как вспомогательная и только для целых чисел.

Вещественные числа хранятся и обрабатываются в ЭВМ в форме с плавающей запятой. В этом случае положение запятой в записи числа может меняться. В форме с плавающей запятой каждое число изображается в виде двух групп цифр. Первая группа цифр называется мантиссой, вторая - порядком, причем абсолютная величина мантиссы должна быть меньше 1, а порядок - целым числом. В общем виде число в форме с плавающей запятой может быть представлено так:

N = ± MP ^{± r}

где М - мантисса числа (½М½< 1);

r - порядок числа (r- целое число);

P - основание системы счисления.

Для однозначности представления чисел с плавающей запятой используется нормализованная форма, при которой мантисса отвечает условию: 1/r£½М½< 1. Это означает, что мантисса должна быть правильной дробью и иметь после запятой цифру, отличную от нуля.

Число в форме с плавающей запятой занимает в оперативной памяти 4 (число обычной точности) или 8 (число двойной точности) байт. При записи числа с плавающей запятой выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы.

Пример:

31 23 0

знак

знак мантиссы

порядка поле мантиссы

поле порядка

Нормальная форма представления имеет огромный диапазон отображения чисел и является основной в современных ЭВМ.

Знак числа обычно кодируется двоичной цифрой, при этом код 0 означает знак «+», код 1 - знак «-».

Диапазон изменения чисел определяется количеством разрядов, отведенных для хранения порядка числа, а точность (количество значащих цифр) определяется количеством разрядов, отведенных для хранения мантиссы.

Таблица интервалов чисел различных форматов:

Формат с плавающей запятой
Количество разрядов, отводимое для хранения числа	Количество разрядов, отводимое под порядок	Количество разрядов, отводимое под мантиссу	Точность вычислений	Максимальное значение порядка	Максимальное число
4 байта	8 разрядов	24 разряда	223-1≈107 ( 7 разрядов)	11111112= =12710	2127=1,7001411*1038
8 байтов	11 разрядов	53 разряда	252-1≈1015,6 (15 или 16 разрядов)	11111111112==102310	21023=8,98846567431157*10307

Пример:

С = 11111010,001100000000000₂

Представим число в нормальной форме:

С= 0,1111101010001100000000000 * 2⁸

Порядок должен быть записан двоичной цифрой.

Число С= 0,1111101010001100000000000 * 2⁸

будет храниться в ячейке памяти следующим образом:

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0