- •Лекция №1 (2 семестр)
- •Лекция №2 (2 семестр)
- •Лекция №3 (2 семестр)
- •Лекция №4 (2 семестр)
- •Лекция №5 (2 семестр)
- •Лекция №6 (2 семестр)
- •Лекция №7 (2 семестр)
- •Лекция №8 (2 семестр)
- •Лекция №9 (2 семестр)
- •Лекция №10 (2 семестр)
- •Лекция №11 (2 семестр)
- •Лекция №12 (II семестр)
- •Лекция №13 (II семестр)
- •Лекция №14 (II семестр)
- •Лекция №15 (II семестр)
- •Лекция №16 (II семестр)
- •Лекция №17 (II семестр)
- •Лекция №18 (II семестр)
- •Лекция №19 (II семестр)
- •Лекция №20 (II семестр)
- •Лекция №21 (II семестр)
- •Лекция №22 (II семестр)
- •Лекция №23 (II семестр)
- •Лекция №24 (II семестр)
- •Лекция №25 (II семестр)
- •Лекция №26 (II семестр)
Лекция №1 (2 семестр)
Тема: Определение евклидова пространства. Примеры. Неравенство Коши-Буняковского. Ортогональные системы и их линейная независимость.
Содержание:
Определение евклидовых пространств.
При изучении линейных пространств мы обобщили понятие плоскости, трехмерного пространства следующим образом: мы определили линейное пространство X над произвольным полем Р как непустое множество, замкнутое относительно операции сложения, для элементов которого определена операция умножения на элементы из поля Р, так что выполнены следующие 8 аксиом линейного пространства:
– ассоциативность.
– существование нейтрального элемента.
– существование симметричного элемента.
– коммутативность. (Х – абелева группа по сложению)
.
.
.
.
Понятие n-мерного линейного пространства далеко не в полной мере обобщает понятие плоскости и понятие трехмерного пространства. В линейном n‑мерном пространстве L не определены такие понятия, как длина вектора и угол между векторами. Как известно, и в плоскости, и в трехмерном пространстве можно ввести понятие скалярного произведения векторов – это понятие вводится с помощью понятий длины вектора и угла между векторами: . Мы установили, что скалярное произведение обладает следующими свойствами:
1)
2)
3)
4)
Если известно скалярное произведение, то легко можно вычислить длину вектора (1). По известному скалярному произведению можно определить и угол между векторами: (2). Это наталкивает на следующий способ обобщения плоскости и пространства: мы аксиоматически определяем в любом n-мерном линейном пространстве понятие скалярного произведения так, чтобы выполнялись свойства 1,2,3,4. Тогда понятия длины вектора и угла между векторами определим по формулам (1) и (2), однако за достигнутое таким образом углубление в геометрию пространства нам придется пожертвовать некоторой степенью общности: мы будем рассматривать линейные пространства, заданные не над произвольным полем Р, а лишь над полями R и С.
Определение: Вещественное пространство Е, заданное над полем R, называется евклидовым, если любой паре и элементов пространства Е поставлено в соответствие число, обозначаемое и называемое скалярным произведением, так, что выполнены следующие аксиомы:
1)
2)
3)
4)
Отметим, что из аксиомы (2) при следует, что , а из аксиом (2) и (3) следует, что скалярное произведение двух линейных комбинаций вычисляется по формуле: (3).
Очевидно, что любое подпространство евклидова пространства Е само является евклидовым пространством, введенным над тем же полем. Если Ln – n-мерное линейное пространство над R, то оно может быть легко превращено в евклидово пространство, например, следующим образом: в пространстве Ln выберем базис , тогда произвольный векторы и могут быть записаны в виде линейных комбинаций:
, а тогда скалярное произведение: (4).
Легко проверить, что для произведения, определяемого по формуле (4), выполнены аксиомы 1,2,3,4. То есть, формула (4) в действительности задает скалярное произведение. Заметим, что скалярное произведение в n-мерном пространстве можно задать и другим способом: например, взять произвольную последовательность положительных действительных чисел и положить .
В n-мерном пространстве базис, как известно, можно выбрать многими способами, а любому базису по указанному выше правилу соответствует свое скалярное произведение.
Определение: Вектор из евклидова пространства Е называется нормированным, если . Справедливо следующее утверждение: любой ненулевой вектор можно нормировать, умножив его на некоторое действительное число .
Определение: Система векторов евклидова пространства Е называется нормированной, если нормированы все ее элементы.
Теорема: ( неравенство Коши – Буняковского )
Для любых векторов евклидова пространства Е справедливо неравенство: (5).
Доказательство: Неравенство (5) очевидно, справедливо, если один из векторов равен , например, . (В этом случае оно превращается в равенство, поэтому будем считать .)
Рассмотрим вектор , где – произвольное число из R.
Положим (6).
Определение: Пусть и – произвольные векторы из Е. Векторы называются коллинеарными, тогда и только тогда, когда:
.
Так как – нулевой вектор, то два вектора заведомо коллинеарны, если хотя бы один из них – нулевой.
Теорема: Неравенство Коши – Буняковского обращается в равенство тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.
Доказательство:
1) Пусть векторы и коллинеарны, :
2) Пусть . Если вектор , то векторы и коллинеарны, и доказывать нечего.
Предположим, что . Возьмем , тогда:
, так как неравенство в этом случае является равенством, а тогда .
Ортогональность.
Определение: Векторы , принадлежащие евклидову пространству Е называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0. Определение ортогональности является перенесением понятия перпендикулярности на произвольные евклидовы пространства.
Определение: Система векторов евклидова пространства Е называется ортогональной, если она состоит из одного вектора или все векторы этой системы попарно ортогональны.
Определение: Нормированная ортогональная система векторов называется ортонормированной.
Пример:
В пространстве V3 векторы образуют ортонормированную систему.
В арифметическом пространстве трехмерных векторов ортонормированной является система:
Теорема: Любая ортогональная система ненулевых векторов евклидова пространства Е линейно независима.
Доказательство: Пусть дана система ортогональная векторов :
Рассмотрим произвольную нулевую линейную комбинацию:
(1)
Умножая обе части неравенства (1) поочередно на , покажем, что все
Следствие: Если сумма попарно ортогональных векторов равна , то все векторы равны .
Библиография:
1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.
2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.
3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.