Лекция №20 (II семестр)

Тема:Инвариантные подпространства. Операторный многочлен. Приведение матрицы оператора к треугольной форме.

Содержание:

Инвариантное подпространство.

Оператор А действует в комплексном линейном пространстве X.

Определение: Подпространство L линейного пространства X называется инвариантным по отношению к оператору А, если . Нулевое подпространство и все пространство X являются инвариантными относительно любого линейного оператора, действующего в X. Эти подпространства называются тривиальными инвариантными подпространствами.

Примеры:

1. Пусть , . Рассмотрим , L – инвариантно относительно этого оператора.

2. Пусть – ядро оператора, – образ этого оператора, , и – инвариантны относительно А. Эти подпространства ( и ) тривиальны тогда, и только тогда, когда оператор А либо невырожден, либо нулевой.

3. Для любого оператора , любое его собственное подпространство является инвариантным относительно этого оператора.

Так как в комплексном линейном пространстве любой оператор имеет хотя бы один собственный вектор, то каждый оператор в этом пространстве имеет хотя бы одно не тривиальное инвариантное подпространство.

Пусть , , , и пусть L – инвариантное подпространство. Выберем в L базис и дополним его до базиса X векторами . Построим матрицу оператора А в этом базисе:

Пусть линейное пространство представимо в виде прямой суммы и L, M – инвариантны относительно оператора А. В этом случае говорят, что X разложимо в прямую сумму своих инвариантных подпространств.

Выберем – базис L, – базис M. В этом случае матрица оператора имеет вид:

.

Определение: Пусть , L – инвариантно относительно А. Оператор , действующий на инвариантном подпространстве L называется индуцированным оператором, порожденным оператором А, если .

Так как имеет по крайней мере, один собственный вектор, и совпадает с оператором А на подпространстве L, то любой линейный оператор в каждом инвариантном подпространстве имеет хотя бы один собственный вектор.

Теорема 12: Характеристический многочлен индуцированного оператора, порожденного оператором А на нетривиальном подпространстве, является делителем характеристического многочлена порождающего оператора.

Доказательство: Рассмотрим базис линейного пространства X: , где – базис подпространства L. – матрица оператора А в этом базисе. – матрица индуцированного оператора .

– характеристический многочлен оператора А

– характеристический многочлен оператора .

Определение всех собственных значений оператора А сводится к нахождению всех корней характеристического многочлена этого оператора. Если оператор А имеет нетривиальное инвариантное подпространство, то по теореме 12 задача нахождения собственных значений оператора А сводится к нахождению корней двух многочленов: и , степеней меньших, чем степень характеристического уравнения оператора А.

Операторный многочлен.

Пусть линейный оператор А действует в комплексном линейном пространстве X и пусть (1) – произвольный многочлен над полем комплексных чисел. Рассмотрим линейный оператор:

(2) – этот оператор тоже действует в X.

Определение: Оператор (2) называется операторным многочленом от оператора А.

Пусть Р – произвольное поле. Рассмотрим множество всевозможных многочленов от одной переменной с коэффициентами из поля Р. Как известно, в можно определить операцию сложения , умножения и относительно этих операций множество будет являться коммутативным кольцом с единицей.

Пусть – поле комплексных чисел. Тогда – множество всех многочленов от одной переменной с комплексными коэффициентами. Зафиксируем некоторый оператор и каждому многочлену поставим в соответствие операторный многочлен . Мы получим множество всех операторных многочленов, соответствующих оператору А и это множество также является коммутативным кольцом с единицей.

В этом кольце в частности выполняется равенство:

Лемма 1: Пусть линейный оператор А действует из X в X, – некоторый многочлен с комплексными коэффициентами, – операторный многочлен и пусть – область значений операторного многочлена .

Область значений является подпространством линейного пространства X, инвариантным относительно оператора А.

Доказательство: Пусть вектор , это означает, что существует вектор , такой, что , проверим, будет ли .

Лемма 2: Пусть линейный оператор А действует из X в X, – некоторый многочлен с комплексными коэффициентами, – операторный многочлен и пусть – ядро операторного многочлена является подпространством линейного пространства X, инвариантного относительно оператора А.

Доказательство:

Лемма 3: Пусть линейный оператор , – произвольный многочлен с комплексными коэффициентами. Если собственное значение оператора А является корнем многочлена , то все собственные векторы оператора А, соответствующие этому собственному значению, принадлежат ядру операторного многочлена .

Доказательство:

,

тогда

Лемма 4: Пусть линейный оператор , – произвольный многочлен с комплексными коэффициентами. Если собственное значение оператора А не является корнем многочлена , то все собственные векторы оператора А, соответствующие этому собственному значению, принадлежат образу операторного многочлена .

Доказательство:

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М. : Физико-математическая литература, 2000, 368 с.