1.4.Перевод чисел из одной системы счисления в другие.

а) способ подстановки степени основания.

Для перевода чисел из любой системы счисления в 10-ую систему счисления используется правило полинома: каждая Р-ичная цифра и соответствующая ей степень основания переводится в Q-ичную систему, а затем определяется значение цифры путем умножения и сложения по q-правилам, то есть любое число может быть представлено в виде:

А_q=a_n-1q^n-1+a_n-2q^n-2+ . . . +a₀q⁰+a_-1q^-1+ . . . +a_-mq^-m

Где: |q|>=1 - основание системы счисления, в которой записано число

a_i – коэффициенты

n - число целых разрядов

m - число дробных разрядов

Пример: 1) 1101,01₂ ( )₁₀

1*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰+0*2^-1+1*2^-2=8+4+1+1/4=16,25₁₀

2)254,3₈ ( )₁₀

2*8²+5*8¹+4*8⁰+3*8^-1=128+40+4+3/8=172,375₁₀

3)AF,8₁₆ ( )₁₀

10*16¹+15*16⁰+8*16^-1=160+15+8/16=175,5₁₀

б) перевод целых чисел

Для перевода целого числа из 10-ой системы счисления в любую другую необходимо это число и получаемые целые частные последовательно делить на­цело на основание системы счисления в которую переводим до получе­ния частного меньшего основания. Число в новой системе счисления составляется из остатков и последнего частного, начиная с него.

Пример:

1) 54₁₀ ( )₂ = 110 110₂

54 |2

54 27 |2

0 26 13 |2

1 12 6 |2

1 6 3 |2

0 2 1

1

2 ) 348₁₀ ( )₈ = 534₈

348 |8

344 43 |8

4 40 5

3

3 ) 875₁₀ ( )₁₆ = 36B₁₆

875 |16

864 54 |16

11 48 3

6

в) перевод дробного числа из 10 - ой системы счисления в любую другую

Для перевода последовательно умножают дробную часть числа на основание системы счисления , в которую перево­дим, до получения нуля в дробной части произведения или до достижения нужной степени точности. Но­вое число записывается как последовательность из целых частей промежуточных произведений, начиная с первого.

Пример:

1) 0,2₁₀ ( )₂ = 0,00110₂ 2) 0,725₁₀ ( )₈ = 0,56314₈

0 2 0 725

2 8

0 4 5 800

2 8

0 8 6 400

2 8

1 6 3 200

2 8

1 2 1 600

2 8

0 4 4 800

г) перевод смешанных чисел

Для перевода смешанных чисел из одной системы счисления в другую переводят отдельно целую и дробную части по известным правилам. Новое число получается соединением частей в одну запись.

Пример:

1) 79,25₁₀ ( )₂

0,25₁₀ = 0,01₂

0 25

7 9 |2 79₁₀ 1001111₂ 2

7 8 29 |2 0 50

1 38 19 |2 2

1 18 9 |2 1 00

1 8 4 |2

1 4 2 |2

0 2 1

0

Следовательно, 79,25₁₀ = 1001111,01₂

д) перевод чисел из 8,16-ой системы счисления в 2-ую систему счисления и обратно

Для перевода чисел из 2-ой систему счисления в 8-ю систему счисления двоичное число разбивается на триады (трехзначное дво­ичное число), а затем каждая триада заменяется соответствующей восьмеричной цифрой, используя таблицу эквивалентов. Разбиение на­чинают влево и вправо от запятой. Если триада неполная, то ее добавляют нулями.

П ример: 1) 101101,01₂ ( )₈= 55,2₈

101 101, 010

5 5 2

Для перевода из 8-ой системы счисления в 2-ую систему счисления каждая восьмеричная цифра заменяется соответствующей триадой двоичных цифр.

П ример: 1267,54₈ ( )₂= 1010110111,101100₂

Для перевода из 2-ой системы счисления в 16-ую систему счисления двоичное число разбивается на тетрады, которые заменяются соответствующими шестнадцатеричными цифрами.

П ример: 0010 0101 1101,1000₂ ( )₁₆= 25D,8₁₆

2 5 D 8

Для перевода из 16-ой системы счисления в 2-ую систему счисления каждая 16-ричная цифра заменяется соответствующей тетра­дой двоичных цифр.

П ример: 4AF2,5C₁₆ ( )₂ = 100101011110010,01011100₂

Таблица эквивалентов

Десятичная	Двоичная	Восьмеричная		Шестнадцатеричная
			Двоичная		Двоичная
0	00	0	000	0	0000
1	01	1	001	1	0001
2	10	2	010	2	0010
3	11	3	011	3	0011
4	100	4	100	4	0100
5	101	5	101	5	0101
6	110	6	110	6	0110
7	111	7	111	7	0111
8	1000	10	1000	8	1000
9	1001	11	1001	9	1001
10	1010	12	1010	A	1010
11	1011	13	1011	B	1011
12	1100	14	1100	C	1100
13	1101	15	1101	D	1101
14	1110	16	1110	E	1110
15	1111	17	1111	F	1111