Доказательство:
Пусть и - данные плоскости, а1 и а2 - прямые в плоскости, пересекающиеся в точке А, b1 и b2 - соответственно параллельные им прямые в плоскости. Допустим, что плоскости и не параллельны, т.е. пересекаются по некоторой прямой с. По теореме прямые а1 и а2, как параллельные прямым b1и b2, параллельны плоскости , и поэтому они не пересекают лежащую в этой плоскости прямую с. Таким образом, в плоскости через точку А проходят две прямые (а1 и а2), параллельные прямой с. Но это невозможно по аксиоме параллельных прямых. чтд.
Перпендикулярные плоскости: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.
Теорема 2: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Доказательство:
Пусть - плоскость, b - перпендикулярная ей прямая, - плоскость, проходящая через прямую в, с - прямая, по которой пересекаются плоскости и . Докажем, что плоскости и перпендикулярны. Проведем в плоскости через точку пересечения прямой b с плоскостью прямую а, перпендикулярную прямой с. Проведем через прямые а и b плоскость . Она перпендикулярна прямой с, т.к. прямая с перпендикулярна прямым а и b. Т. к. прямые а и b перпендикулярны, то плоскости и перпендикулярны. чтд.
Угол между плоскостями.
Пусть
плоскости 
и 
заданы
соответственно
уравнениями 
и 
.
Требуется найти угол 
между
этими плоскостями.
Плоскости,
пересекаясь, образуют четыре двугранных
угла: два тупых и два острых или четыре
прямых, причем оба тупых угла равны
между собой, и оба острых тоже равны
между собой. Мы всегда будем искать
острый угол. Для определения его величины
возьмем точку 
на
линии пересечения плоскостей и в этой
точке в каждой из плоскостей проведем
перпендикуляры 
и 
к
линии пересечения. Нарисуем также
нормальные векторы 
и 
плоскостей
и
с
началами в точке
.
Если через
точку
провести
плоскость 
,
перпендикулярную линии пересечения
плоскостей
и
,
то прямые
и
и
изображения векторов
и
будут
лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж
в плоскости
(возможны
два варианта:)
В одном варианте 
и 
,
следовательно, угол 
между
нормальными векторами равен углу
,
являющемуся линейным углом острого
двугранного угла между плоскостями
и
.
Во втором варианте 
,
а угол
между
нормальными векторами равен 
.
Так как
то в обоих случаях 
.
По определению
скалярного произведения 
.
Откуда
и соответственно
Так как координаты нормальных векторов известны, если заданы уравнения плоскостей, то полученная формула (11.4) позволяет найти косинус острого угла между плоскостями.
Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Получаем условие перпендикулярности плоскостей:
Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей
где t - любое число.
Различные формы уравнения прямой в пространстве
Способы
задания прямой
Векторно-параметрическое
уравнение прямой
где 
-
фиксированная точка, лежащая на
прямой; 
-
направляющий вектор.
В координатах (параметрические уравнения):
Канонические
уравнения прямой
Уравнения
прямой по двум точкам
Прямая
как линия пересечения двух плоскостей
при условии, что не имеют места равенства
Направляющий вектор такой прямой
где
Типичные задачи, связанные с прямой (провести прямую через 2 точки, расстояние от заданной точки до прямой, расстояние между скрещивающимися прямыми)
Уравнения прямой по двум точкам
Расстояние
от точки до прямой
