Билет 38

Формула Тейлора для e^x и её применение в приближенных вычислениях.

Пусть f(x) = e^x. Тогда, как мы знаем, f^(k)(x) = e^x , а потому f^(k)(0) = 1, а f^(k)(с) = е^с.

Подставить всё это в или (0;x).

Получим формулу Тейлора для показательной функции:

Или в более подробной записи:

Отсюда следует приближённое равенство:

Позволяющее находить значение экспоненты.

Вопрос 37

Формула Тейлора для многочленов.Пусть задана функция f(x) и в некоторой точке “а” нам известны значения её и её первых n производных: f(a), f ^I(a), f ^II(a), … , f⁽ⁿ⁾(a). Мы хотим построить такой многочлен T_n (х) степени n, который в некоторой окрестности точки «а» как можно меньше отличался бы от нашей функции. Для этого мы потребуем, чтобы в точке «а» значения многочлена и его производных совпадали, соответственно, со значениями функции и ее производных.

Итак, построим многочлен T_n (х), удовлетворяющих условиям:

T_n (а) = f(a), T_n^I(a) = f ^I(a), T_n^II(a) = f ^II(a), … , T_nⁿ(a) = f ⁿ(a).

Будем искать T_n(х) в виде

T_n(х)=c₀+c₁(x-a)+c₂(х-a)²+...+А_n(х-a)ⁿ

Ясно, что

T'_n(х)=c₁+2c₂(х-a)+3c₃(x-a)²+...+nc_n(x-a)^n-1,

T_n''(х)=2c₂+2•3c₃(х-a)+...+n(n-1)c_n(х-a)^n-2,

…………………………………………………..

T_n⁽ⁿ⁾(х) = n!c_n

Подставив в многочлен и его производные x=a, получим

с₀ = f(a), с₁ = f ^I(a), 2с₂ = f ^II(a), 3!с₃ = f ^III(a), … , n!с_n = f ⁽ⁿ⁾(a).

Отсюда

с₀ = f(a), с₁ = f ^I(a), , , … ,

Таким образом

T_n (х) = f(a) + f ^I (a)(x-a) + *(x-a)² + ….. + *(x-a)ⁿ

Или, в более короткой записать, Здесь, как это принято, считается, что f⁽⁰⁾ = f(a) и 0! = 1.

Формула Тейлора для функции

Рассмотрим подробнее величину R_n+1(x).

Как видно на рисунке в точке х = а значение многочлена в точности совпадает со значением функции. Однако, при удалении от точки х = а расхождение значений увеличивается.

Иногда используется другая запись для R_n+1(x). Т.к. точка ε ∈ (a,x), то найдется такое число θ из интервала 0 < θ < 1, что ε = a + θ(x - a).

Тогда можно записать:

*(x-a)ⁿ⁺¹

Тогда, если принять a = x₀, x - a = Δx, x = x₀ + Δx, формулу Тейлора можно записать в виде:

где 0 < θ < 1

Если принять n=0, получим: f(x₀ + Δx) - f(x₀) = f'(x₀ + θΔx)Δx - это выражение называется формулой Лагранжа.

Формула Тейлора имеет огромное значение для различных математических преобразований. С ее помощью можно находить значения различных функций, интегрировать, решать дифференциальные уравнения и т.д.

Билет 7

Теорема. Если элементы сходящейся последовательности {xn}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b (xn ≤ b), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b).

Доказательство. Пусть все элементы xn, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn ≥ b. Требуется доказать неравенство a ≥ b. Предположим, что a < b. Поскольку a - предел последовательности {xn}, то для положительного ε = b - a можно указать номер N такой, что при n ≥ N выполняется неравенство |xn - a| < b - a. Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: -(b - a) < xn - a < b - a. Используя правое из этих неравенств, получим xn < b, а это противоречит условию теоремы. Случай xn ≤ b рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Замечание. Элементы сходящейся последовательности {xn} могут удовлетворять строгому неравенству xn > b, однако при этом предел a может оказаться равным b

Билет 8

Функция f(x) имеет предел A в точке x₀, предельной для области определения функции f(x), если для каждой окрестности предела A существует проколотая окрестность точки x₀, образ которой при отображении f(x) является подмножеством заданной окрестности точки A.

Пусть функции f₁(x),f₂(x),f₃(x) имеют общую область задания и f₁(x) ≤f₂(x) ≤f₃(x). Тогда, если при х->c функции f₁(x) и f₃(x) имеют пределом число L, то и f₂(x) имеет при х->с предел L.

Билет 9

Первый замечательный предел.

При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел: называемый первым замечательным. Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю. Док – во:

Возьмём круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла МОВ через х. Пусть 0< x < .

На рисунке |АМ| = Sinх, дуга МВ численно равна центральному углу х, |BC|= Tgx. Очевидно, имеем .

На основании соответствующих формул геометрии получаем 1/2 Sinx < 1/2 x < 1/2 tgx. Разделим неравенства на 1/2 sinx > 0, получим 1 < < или Cosx < < 1. Так как и , то по признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов

Пусть теперь x < 0. Имеем , где –x > 0. Поэтому

Билет 36

Ассимптоты.

Прямая называется асимптотой графика y=f’(x) если расстояние от тчк. Графика до этой прямой стремится к 0 от начала корд. При неогр. Удалении от начала прямой.

1)Горизонтальная асимптота горизонтальная асимптота для правой ветви графика.

На горизонтальной асимптоте исследование проводится как для правой ветви, так и для левой

2)Вертикальные асимптоты

Точка бесконечного разрыва

X₀-1точка. бесконечного разрыва

; x=x₀-вертикальная ассимптота.

3)Наклонная асимптота

dcosα=γ

По усл. Наклонная асимптота kx+b что означает, что γ→0, cosα=const ↔ d→0 при x→+∞

d=f(x)-kx-b=β

Б.м.

(1)

ф-ция отлич. От постоянной «b» на б.м. зн. Ф-ция имеет предел и он равен β

План:

1. Область определения ф-ции и непрерывность; тчк пересечения с осями координат; чётность, нечётность; периодичность.

2. Асимптоты

3. 1-ая производная от искомой тчк критич. на экстремум

4. Исследование на экстремум

5. 2-ая производная от искомой тчк. Крит на перегиб

6. Исследование на перегиб

7. График

Опре. И непрерывна (-∞; +∞)

y(0)=0

верт. Асимптоты нет т.к. нет тчк разрыва асимптота гориз. гориз. асимптоты нет.

y=-x+2

x	(-∞;0)	0	(0,4)	4	(4,6)	6	(6,+∞)
y’	-	∞	+	0	-	∞	-
y	↓	min	↑	max	↓		↓