Вопрос 1

Числовые множества. Множеством называется совокупность объектов, обладающих одинаковым указанным свойством. x ϵ Х – x является элементов множества X. Х с Y: Х часть подмножества Y, т.е. всякий элемент множества Х является элементов множества Y. Х=Y: элементы множеств одинаковы. Х∪Y – сумма(Объединение) множеств, всякий элемент которого является элементом Х или элементом Y: Х∪Y Пусть Х={-6, -3, 0, 3, 6}, Y={0,2, 4, 6, 8}. Тогда X∪Y = {-6, -3, 0, 2, 3, 4, 6, 8}. Аналогично определяется объединение большего числа множеств. Объединением множеств А1, А2, А3, …, Аn называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А1, А2, А3, …, Аn. Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В.

-Границы числовых множеств. Число М называется верхней границей множества Х, если для любого элемента выполняется неравенство (любой хϵХ:х М или нижн. граница х m), если существует верхняя(нижняя) граница, то верхних границ бесконечное множество. Наиверх..граница – M₀=supremumX. Наибольш. Нижняя граница – m₀=infimumX

- св-ва.: 1.для всех : M_0; 2. Для всех (любое + число) >0, (существует)x : x>M₀- .

- Множество называется ограниченным, если оно ограничено с двух сторон, т.е. любое хϵХ m<=x<=M. . Теорема: Для того, чтобы функция была ограничена, необходимо и достаточно, чтобы существовало числоk>o, такое, что для любого числа существует |х|<=k.

- Функцией (отображением мн-ва Х на мн-во Y) называется правило или закон, по которому каждому элементу из Х поставлен в соответствие элемент из Y, при этом всякий элемент из Y является поставленным в соответствие хотя бы одному элементу из Х; х-аргумент, y-значение функции; Х-ООФ, Y- область значений функции.

-задание функций:1.табличный 2.аналитический (формулы) 3.графический. Область определения 4.словестный - Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа 4 арифметических действий.; Понятие сложной функции. Сложная функция, функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = j(х), то у является С. ф. от х, то есть y = f [(x)], определённой для тех значений х, для которых значения j(х) входят в множество определения функции f (u). В таком случае говорят, что у является С.ф.

Вопрос 2

Пусть функция f задана на промежутке [a,+∞).Число l называется пределом функции f(x) при x, стремящимся к +∞, если для любого числа E>0 найдется такое x0, что для всех х, удовлетворяющих условию х>х0, выполняется неравенство l-E<f(x)<l+E, или, что то же,|f(x)-l|<E.

Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

График функции, предел которой при аргументе, стремящемся к бесконечности, равен L.

- Односторонний предел в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (или преде́лом спра́ва).

Число В наз. Пределом функции слева, при x a-0 , если для всех Е>0 существует m>0 : для всех xϵ(a-m,a) | B|<E

Число В наз. Пределом функции справа, при x a+0 , если для всех Е>0 существует m>0 : для всех xϵ(a,a+m) | B|<0.

-обозначим придел =A,геометрический смысл предела функции в точке. Неравенство |f(x)-A|<ε равносильно двойному A-ε <f(x)<A+ε . Число A есть предел функции f(x) при x→ a, если для любого ε >0 найдется такая δ-окрестность точки a, что для всех x≠a из этой окрестности соответствующие значения функции f(x) будут заключены в полосе A-ε <f(x)<A+ε

-Единственность предела. Если существует lim f(x), при x->∞, то он единственный. Док-во от противного. lim f(x) x->∞=b1; . lim f(x) x->-∞=b2. Допустим, что b1=b2. M=наиб(M1,M2), тогда любой x>M лежит и в той и в другой полосе, что невозможно.