Вопрос 18

Если функция у = f(x) строго монотонна на интер­вале (а; b) и имеет неравную нулю производную f'(x) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция х = р(у) также име­ет производную р'(у) в соответствующей точке, определяемую равен­ством p'(y) =1/ f'(x) или

х'_у = 1/y’_x

Рассмотрим обратную функцию х = p(у). Дадим аргументу у при­ращение ∆у=! 0. Ему соответствует приращение ∆х обратной функции, причем ∆х ф=! 0 в силу строгой монотонности функции у = f(x). Поэто­му можно записать.

∆x/∆y=1/∆y/∆x

Если ∆у —>• 0, то в силу непрерывности обратной функции прира­щение ∆x -» 0. И так как lim = f'(х)=! 0, то из следуют равенства

lim ∆x/∆y =1/lim,( ∆y/∆x)=1/ f'(x) т. е. р'(у) = 1/ f'(x)

Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Правило дифференцирования обратной функции записывают так:

y'_x= 1/x'_y или dy/dx=1/dx/dy

Пусть y=arcsin(x). Обратная ей функция имеет вид x=sin(y), yϵ(-П/2;П/2). На интервале (-П/2;П/2) верно равенство x’=cos(y)=!0. По правилу дифференцирования обратных фонаций (arcsin(x))’=1/(sin(y))’=1/cos(y)=1/sqrt(1-sin²(y))=1/sqrt(1-x²), где перед корнем взят знак +, т.к. cos(y)>0 при yϵ(-П/2;П/2). Итак, (arcsin(x))’=1/sqrt(1-x²)

Вопрос 19

Под неявным заданием функций понимают задание функции в виде уравнения F(x,y)=0, не разрешенного относительно y. Всякую явно заданную функцию можно записать, как неявную, заданную уравнением f(x)-y=0, но не наоборот. Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение, относительно y(например, y+2x+cosy-1=0)

Если функция задана уравнением F(x,y)=0, то для нахождения производной от y по x нет необходимости разрешать уравнение относительно y: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом y как функцию x, и полученное затем уравнение разрешить относительно y’

Производная неявной функции выражается через аргумент x и функцию y.

Пример. Найти производную функции y, заданную уравнением x³+y³-3xy=0

Решение. Функция y задана неявно. Дифференцируем по x равенство x³+y³-3xy=0. Из полученного отношения 3x²+3y*y’-3(y+x*y’)=0 следует, что y²y’-xy’=y-x², т.е. y’=(y-x²)/(y²-x).

Путь функция y=f(x) задана неявно в виде уравнения F(x;y)=0. Продифференцировав это уравнение по x и разрешив полученное уравнение относительно y’, найдем производную первого порядка. Продифференцировав по x первую производную, получим вторую производную. От неявно заданной функции. В неё войдут x,y,y’. Подставляя уже найденное значение y’ в выражение второй производной, выразим y’’ через x и y. Аналогично поступаем для нахождения производной третьего и т.д. порядка.

Пример Найти y’’, если x²+y²=1

Решение. Дифференцируем x²+y²-1=0 по x: 2x+2y*y’=0. Отсюда y’=-(x/y). Далее имеем: y’’=-((1*y-x*y’)/y², т.е. y’’=-((y-x(-x/y))/y²).