Вопрос 6

Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Функция f(x) имеет предел A в точке X₀, предельной для области определения функции f(x), если для каждой окрестности предела A существует проколотая окрестность точки X₀, образ которой при отображении f(x) является подмножеством заданной окрестности точки A.

1.Произведение ограниченной функции на б.м. есть функция б.м.

Пусть функция f(х) ограничена при х->х0. Тогда существует такое число М>0, что |f(x)|<= М для всех х из δ1 – окрестности точки х0. И пусть а(х) – б.м.ф. при х->х0. Тогда для любого E>0, а значит, и E/M>0 найдется такое число δ2>0, что при всех , удовлетворяющих неравенству 0<|x-x0|<δ2, выполняется неравенство |a(x)|<E/M. Обозначим через δ наименьшее из δ1 и δ2. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|x-x0|<δ, выполняются оба неравенства. Следовательно, |f(x)*a(x)|=|f(x)|*|a(x)|<E/M*M=E. А это означает, что произведение f(x)*a(x) при х->х0 есть б.м.ф

2.Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющий отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

Пусть lim a(x)=0(x->x0), а lim f(x)=a=!0(x->x0). Функция а(х)/f(x) может быть представлена в виде произведения б.м.ф.а(х) на ограниченную функцию 1/f(x). Но тогда из предыдущей теоремы следует, что частное a(x)/f(x)=a(x)* (1/f(x)) есть функция б.м.

3.Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций:

Пусть lim f(x)=A(x->x0), lim£(x)=B(x->x0). Тогда по теореме о связи функции, её предела и б.м.ф.(Если функция имеет предел, равный А, то её можно представить как сумму числа А и б.м.ф.) можно записать f(x)=A+α(x) и £(x)=B+β(x). Следовательно f(x)+£(x)=A+B+(α(x)+β(x)). Здесь α(x)+β(x) – б.м.ф. как сумма б.м.ф. . По 2-й теореме о связи функции, её предела и б.м.ф.(обратная 1-й) можно записать lim(f(x)+£(x))=A+B, т.е. lim(f(x)+£(x))=lim f(x)+lim £(x) (везде x->x0)

4.Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:

Так как lim f(x)=A и lim £(x)=B, то f(x)=A+α(x) и £(x)=B+β(x), где α(x) и β(x) – б.м.ф. Следовательно, f(x)*£(x)=(A+α(x))*(B+β(x)), т.е. f(x)*£(x)= AB+(A*β(x)+B*α(x)+ α(x)*β(x)). Выражение в скобках есть б.м.ф. . Поэтому lim (f(x)*£(x))=lim f(x)*lim£(x). (Везде x->x0)

5.Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю:

Из равенств lim f(x)=A и lim £(x)=B=!0 следуют соотношения f(x)=A+α(x) и £(x)=B+β(x). Тогда f(x)/£(x)=(A+α(x))/(B+β(x))= A/B+((A+α(x))/(B+β(x))–A/B)=A/B+ (B*α(x)-A*β(x))/(B^2+B*β(x)). Второе слагаемое есть б.м.ф. как частное от деления б.м.ф. на отличный от нуля предел, поэтому lim(f(x)/£(x)=A/B=lim f(x)/lim £(x). (везде x->x0)

Вопрос 10

Под числовой последовательностью x1, x2, x3, x4…., xn понимается функция xn =f(n), заданная на множестве N натуральных чисел.

Число a называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного числа E найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |xn-a|<E. В этом случае пишут lim xn(x->∞)=lim xn=a или хn->a и говорят, что последовательность { xn } имеет предел, равный числу а.

Экспонента — показательная функция exp(x) = ex, где e — основание натуральных логарифмов (e=2.7182818284590452...).

или

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что Пусть Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов