- •Линейная зависимость и независимость строк, столбцов матриц. Ранг матрицы. Вычисление с помощью элементарных преобразований
- •Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы:
- •Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют следующим свойствам:
- •Доказательство:
- •Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
- •Кривые 2 порядка и их канонические уравнения
- •Канонические уравнения Окружность
- •Необходимое и достаточное условие экстремумов
Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы:
Теорема 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. , то система имеет единственное решение.
Теорема 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. , то система является неопределенной и имеет бесконечное множество решений.
Базисным минором матрицы называется любой ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы.
Те неизвестных, коэффициенты при которых входят в запись базисного минора, называются базисными (или основными), остальные неизвестных называются свободными (или неосновными).
Решить систему уравнений в случае - это значит выразить базисные переменные через свободные. При этом имеем общее решение системы уравнений. Если все свободные переменные равны нулю, то решение системы называется базисным (дальше жопный Гаусс из 5 вопроса).
Геометрические векторы. Линейные операции с векторами. Базис и координаты вектора, заданного базисом
Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно самому себе).
Векторы могут обозначаться как 2-мя прописными буквами, так и одной строчной с чертой или стрелкой.
Длиной (или модулем) вектора называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.
Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называют коллинеарными.
Если начало и конец вектора совпадают ( ), то такой вектор называется нулевым и обозначается = . Длина нулевого вектора равна нулю: = 0.
Произведением вектора на число :
Будет вектор, имеющий длину , направление которого совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если .
Противоположным вектором - называется произведение вектора - на число (-1), т.е. - = .
Суммой двух векторов и называется вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец с концом вектора , при условии, что начало совпадает с концом . (правило треугольников). Аналогично определяется сумма нескольких векторов.
Разностью двух векторов и называется сумма вектора и вектора - , противоположного .
Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют следующим свойствам:
1) - коммутативное (переместительное) свойство суммы;
2) - ассоциативное (сочетательное) свойство суммы;
3) - ассоциативное относительно числового множителя свойство;
4) - дистрибутивное (распределительное) относительно суммы векторов свойство;
5) - дистрибутивное относительно суммы числовых множителей свойство;
6) Существует нулевой вектор такой, что для любого вектора (особая роль нулевого вектора);
7) Для любого вектора существует противоположный вектор такой, что ;
8) для любого вектора (особая роль числового множителя 1).
Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из векторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число n называется размерностью пространства и обозначается .
Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства называется базисом.
Скалярное произведение векторов и его свойства (длина вектора, угол между векторами)
Скалярным произведение двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
Также эта формула имеет другой вид:
,
т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.
Свойства:
1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba
5. Если векторы а и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а 0 b, то а b
Длина вектора.
Угол между векторами.
Определение угла φ между ненулевыми векторами а = (ax; ay; az) и b=( bх; bу; bг):
Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов а и b:
Векторное произведение векторов и его свойства
Векторное произведение векторов и - вектор, обозначаемый или для которого:
( - угол между векторами и , );
тройка , , - правая.
Свойства векторного произведения.
если , то равен площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах и .
Смешанное произведение векторов. Применение для проверки зависимости системы векторов
Определение:
Свойства смешанного произведения.
- компланарны.
Если V - объем параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах , и , то если тройка правая, и если тройка левая.
Различные формы уравнения плоскости
В трехмерном пространстве в декартовой системе координат любая плоскость описывается линейным уравнением Ax + By + Cz + D = 0, A2 + B2 + C2 ≠ 0.
Это уравнение называется общим уравнением плоскости.
Вектор N = (A, B, C) = A·i + B·j + C·k — нормальный вектор плосокости, он перпендикулярен любой прямой, принадлежащей плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0,y0,z0) перпендикулярно вектору N = (A, B, C) имеет вид A(x −x0)+ B(y −y0) + C(z −z0) = 0. Это уравнение называют уравнением плоскости, проходящей через заданную точку с заданным нормальным вектором.
Виды уравнений плоскости в пространстве.
Если хотя бы одно из чисел А, В, С, D равно нулю, уравнение Ax + By + Cz + D = 0 называют неполным.
Виды неполных уравнений.
1) D = 0 – плоскость Ax + By + Cz = 0 проходит через начало координат.
2) А = 0 – n = {0,B,C} Ox, следовательно, плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси Ох.
3) В = 0 – плоскость Ax + Cz +D = 0 параллельна оси Оу.
4) С = 0 – плоскость Ax + By + D = 0 параллельна оси Оz.
5) А = В = 0 – плоскость Cz + D = 0 параллельна координатной плоскости Оху (так как она параллельна осям Ох и Оу).
6) А = С = 0 – плоскость Ву + D = 0 параллельна координатной плоскости Охz.
7) B = C = 0 – плоскость Ax + D = 0 параллельна координатной плоскости Оуz.
8) А = D = 0 – плоскость By + Cz = 0 проходит через ось Ох.
9) B = D = 0 – плоскость Ах + Сz = 0 проходит через ось Оу.
10) C = D = 0 - плоскость Ax + By = 0 проходит через ось Oz.
11) A = B = D = 0 – уравнение Сz = 0 задает координатную плоскость Оху.
12) A = C = D = 0 – получаем Ву = 0 – уравнение координатной плоскости Охz.
13) B = C = D = 0 – плоскость Ах = 0 является координатной плоскостью Оуz.
Если же общее уравнение плоскости является полным (то есть ни один из коэффициентов не равен нулю), его можно привести к виду:
называемому уравнением плоскости в отрезках.
Нормальное уравнение плоскости где - углы, образуемые нормальным вектором плоскости с осями координат; p - расстояние от начала координат до плоскости.
Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду:
Здесь - нормирующий множитель плоскости, знак которого выбирается противоположным знакуD, если произвольно, если D = 0.
Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору В векторном виде
В координатах
Уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам В векторном виде
В координатах
Параметрические уравнения плоскости В векторном виде
В координатах
Уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые и
Если прямые заданы соответственно уравнениями:
и
то уравнение плоскости есть
Уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые и или
Если , то уравнение плоскости есть
Типичные задачи для плоскости (уравнение плоскости через 3 точки, расстояние от точки до плоскости, геометрический смысл)
Уравнение плоскости по трем точкам В векторном виде
В координатах
или
Расстояние от точки до плоскости
Взаимное расположение плоскостей (когда перпендикулярны, параллельны, что такое угол между плоскостями)
Две плоскости в пространстве могут быть либо параллельны, в частном случае совпадать друг с другом, либо пересекаться. Взаимно перпендикулярные плоскости представляют собой частный случай пересекающихся плоскостей.
Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются, в противном случаи они пересекаются.
Теорема 1: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.