lin_alg_1

1Элементы теории определителей

1.1Определители второго порядка (100907)

Пусть дана квадратная таблица из четырех чисел a11, a12, a21, a22 (позже мы ее назовем матрицей A)

Ч и с л о a11a22 ¡ a12a21 называется определителем второго порядка, соответствующим таблице (1) (или

матрице¯ A). Этот¯ определитель обозначается симво-

лом ¯¯¯a11 a12¯¯¯; соответственно имеем

a21 a22

¢, ¢A det A. Существует также еще одно название

– детерминант (определитель – это перевод на русский язык слова "детерминант"; существуют и другие пары обозначений, одно из которых принято в англоязычной литературе, а второе – в русскоязычной, простейшим примером является пара полином– многочлен).

В представленных выражениях (1)-(2) числа a11, a12, a21, a22 называются элементами определителя

(аналогично элементами матрицы). Любой элемент имеет два индекса, первый из которых указывает номер строки, в которой стоит элемент, а второй – номер столбца. Говорят, что элементы a11 и a22 лежат на главной диагонали определителя (матрицы), а a12 и a21 – на побочной. Таким образом, определитель второго порядка равен разности между произведениями элементов, лежащих на главной и побочной диагона-

только числа, но и алгебраические выражения. Рассмотрим примеры

Откуда, очевидно, x = 12.

Кроме того, с помощью определителя можно записывать и неравенства.

Рассмотрим пример. Решить неравенство

откуда, очевидно, получим x > 3.

1.2Определители третьего порядка (100913)

Пусть дана квадратная таблица (матрица) из девяти

чисел a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, a33 [1]:

Определителем третьего порядка, соответствующим таблице (3), называется число, обозначаемое

По аналогии с определителями второго порядка

числа a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, a33 называются элементами определителя. Элементы a11, a22, a33

расположены на диагонали, называемой главной диагональю, в то время как числа a13, a22, a31 составляют его побочную диагональ.

Для практики вычислений полезно заметить, что первые три слагаемые в правой части равенства (4) представляют собой произведения элементов определителя, взятые по три так, как показано на нижеприведенной схеме в первой строке.

Чтобы получить следующие три члена правой части равенства (4), нужно перемножить элементы определителя по три так, как показано на этой же схеме во второй строке, после чего у каждого из найденных произведений изменить знак.

Можно сформулировать и по-другому. Получим три числа следующим образом: первое – перемножая элементы, стоящие на главной диагонали, второе и третье – перемножая элементы, стоящие на двух укороченных диагоналях, параллельных главной, и на третий недостающий элемент из противоположного угла (который также можно рассматривать как очень

короткую диагональ). Затем аналогично поступаем с элементами на побочной диагонали и диагоналях, параллельных им. Определитель третьего порядка представляет собой сумму первых трех чисел, из которых вычитается сумма трех оставшихся. Этот способ называется правилом Саррюса.

¢0 ¡ 0 ¢ 1 ¢ 10 ¡ 16 ¢ (¡1) ¢ 2 = 60 + 0 ¡ 5 ¡ 0 ¡ 0 + 32 = 87:

Элементами определителя третьего порядка также могут выступать алгебраические выражения, с его помощью можно записывать и уравнения и неравенства.

1.3Свойства определителей (100909)

Запишем самые известные и часто используемые свойства определителей на примере определителя третьего порядка.

C в о й с т в о 1. Величина определителя не изменится, если его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, т.е.

C в о й с т в о 2. Перестановка двух столбцов (или двух строк, что тоже самое в соответствии со свойством 1) определителя равносильна умножению его на ¡1. Например,

C в о й с т в о 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца (или две одинаковых строки), то он равен нулю.

C в о й с т в о 4. Умножение всех элементов одного столбца (или одной строки) определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k. Например,

Это свойство обычно используется для упрощения расчета определителя наоборот, т.е., если видно, что какая-либо строка или столбец делится на одно и то

же число, то его выносят множителем за знак опре-

рого столбца (или некоторой строки) равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство является частным случаем предыдущего (при k =0).

C в о й с т в о 6. Если соответствующие элементы двух столбцов (или двух строк) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Данное свойство является следствием свойств 4 и 3, так как если элементы одинакового столбца пропорциональны, то в одном определителе их можно представить, как число k, умноженное на элементы второго определителя, вынести число k, а затем получить два определителя с одинаковыми столбцами.

C в о й с т в о 7. (Самое непонятное и запутанное на первый взгляд, неизвестно для чего применимое.) Если каждый элемент n–го столбца (или n–ной строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n–ом столбце (или соответственно в n–ой строке) имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой – вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же. Например,

комбинируя его с описанными выше свойствами, можно значительно упростить вычисление определителей. Это будет видно из последующих свойств.

C в о й с т в о 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,

ляется комбинацией свойств 7 и 6. Поясним подробно. На основании свойства 7 определитель, стоящий в левой части, можно представить в виде суммы определителей