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11
1.7Примеры решений вариантов ИДЗ №1 (100910)
Группа А.
Вариант 1.
Вычислить определитель четвертого порядка:
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Вычислим определитель разложением по какойлибо строке, предварительно получив в ней три нулевых элемента. Сделать это можно разными способами.
Первый способ.
В третьей и четвертой строках есть похожие элементы. Прибавим к четвертой строке третью, тем самым получим сразу два нулевых элемента в четвертой строке. Третий нуль можно получить, например, прибавив к третьему столбцу первый.
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Разложим¯ |
|
|
определитель¯ |
по ¯четвертой строке,¯ |
что |
||||||||||||||||||||||||||||||
приведет к определителю третьего порядка. |
|
¡ ¯ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
¯ |
3 |
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
7¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¡ |
|
|
|||||||||||
¯ |
¡7 |
|
2 |
|
¡9 |
|
¡1 |
¯ |
|
¡ |
|
¡ |
|
|
¯ |
|
2 |
|
9 |
|
|
1 |
|
|
|||||||||||
¡5 |
|
¡ |
|
|
¡8 |
|
¡ |
|
|
= |
2( |
1)4+1 |
|
|
1 0 |
|
|
7¯ |
= |
||||||||||||||||
= ¯ |
|
1 |
|
|
¡6¯ |
|
|
¯ |
|
1 |
¡8 |
|
¡6 |
¯ |
|||||||||||||||||||||
¯ |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|||||||||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯¡ |
|
|
|
|
¯ |
|
|||||
¯¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
порядка вычислим¯ |
по правилу¯ |
||||||||||||||||
Определитель¯ |
третьего¯ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
треугольников. |
|
7¯ |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
¯ |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
¯ |
2 |
|
¡9 |
|
|
¡1 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
¯¡ |
|
|
¡8 |
|
|
¡ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
54 + 8 |
|
|
63) = 2 |
|
3 = 6: |
||||||||||||
= 2 ¯ |
1 |
|
|
|
¡6¯ = 2(112 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Второй¯ |
способ.¯ |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Если не удается угадать, как можно упростить определитель, можно просто выбрать какой–нибудь столбец (или строку), в котором элементы являются не очень большими числами, и получать там нули в соответствии со свойством 8.
Видно, что самым простым столбцом в данном случае является второй. Оставим, например, второй элемент без изменения, а остальные будем превращать в нули. Для этого вычтем из первой строки удвоенную вторую, из четвертой вторую, а к третьей прибавим вторую, разложим полученный определитель
по второму столбцу, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|||||||||
|
¡7 2 ¡2 ¡1 ¡2II |
|
|
3 0 |
4 |
|
11 |
|
|||||||||||||||||||
¯¡5 1 ¡3 ¡6¯ |
+II |
= |
¯¡5 1 |
¡3 ¡6 |
= |
||||||||||||||||||||||
¯ |
3 |
|
1 |
¡ |
3 |
¡ |
7¯ |
|
|
¯ |
|
2 0 |
¡ |
6 |
¡ |
13¯ |
|
||||||||||
¯ |
|
|
|
|
¡ |
|
|
¯ |
|
II |
|
|
¯¡ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|||||||
¯ |
|
|
5 1 |
5 |
7 |
¯ |
|
|
|
¯ 0 0 |
8 |
|
13 |
¯ |
|
||||||||||||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯¡ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
¡ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
||
теперь¯ |
перед нами определитель¯ ¯ |
третьего порядка,¯ |
|||||||||||||||||||||||||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
который можно рассчитать по формуле (4) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
¢ |
¯¡2 |
¡6 |
|
¡13¯ |
= [3 |
¢ |
( |
¡ |
6) |
¢ |
13] + [4 |
( |
|
13) |
¢ |
0]+ |
||||||||||
|
|
¯ |
0 |
8 |
|
13 |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¢ ¡ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+[(¡2) ¢ 8 ¢ 11] ¡ [11 ¢ (¡6) ¢ 0] ¡ [4 ¢ (¡2) ¢ 13]¡
¡[(¡13) ¢ 8 ¢ 3] = ¡18 ¢ 13 ¡ 16 ¢ 11 + 8 ¢ 13 + 13 ¢ 24 =
= 13¢(¡18+24)+8¢(13¡22) = 13¢6¡8¢9 = 6¢(13¡12) = 6:
Группа Б.
Вариант 51.
Вычислить определитель пятого порядка:
¯¡1 |
0 |
1 |
¡3 |
1 |
¯ |
|||
¯ |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
¯: |
||
¯ |
4 |
¡1 |
1 |
3 |
1 |
¯ |
||
¯ |
|
2 |
0 |
|
2 |
1 |
2¯ |
|
¯¡ |
|
1 |
¡ |
|
1 |
¡ |
¯ |
|
¯ |
1 |
1 |
2 |
¯ |
||||
¯ |
|
|
¡ |
|
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
Воспользуемся свойством 8 определителя и преобразуем его так, чтобы в некоторой строке или столбце остался всего один ненулевой элемент.
Замечаем, что столбцы III и V отличаются только одним элементом, стоящим в пятой строке. Вычтем из пятого столбца третий.
¯ |
1 |
1 |
0 |
1 |
¡III |
¯= |
||
0 |
||||||||
¯ |
4 |
¡1 |
1 |
3 |
1 |
¯ |
||
¯ |
|
2 |
0 |
|
2 |
1 |
2¯ |
|
¯¡1 |
0 |
1 |
¡3 |
1 |
¯ |
|||
¯¡ |
|
1 |
¡ |
|
1 |
¡ |
¯ |
|
¯ |
1 |
1 |
2 |
¯ |
||||
¯ |
|
|
¡ |
|
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
Далее разложим определитель по пятому столбцу.
¯¡1 |
0 |
1 |
¡3 |
0¯ |
= |
||||
= ¯ |
1 |
1 |
0 |
1 |
0¯ |
||||
¯ |
4 |
¡1 |
1 |
3 |
0 |
¯ |
|
||
¯ |
|
2 |
0 |
2 |
1 |
0¯ |
|
||
¯¡ |
|
|
1 |
¡ |
1 |
|
¯ |
|
|
¯ |
1 |
|
1 |
1¯ |
|
||||
¯ |
|
|
¡ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
Получим определитель четвертого порядка.
= ( |
1)5+5 |
¯¡1 |
0 |
1 |
¡3¯ |
= |
||||
|
|
¯ |
1 |
1 |
0 |
1 |
¯ |
|
||
|
|
¯ |
4 |
¡1 |
1 |
3 |
¯ |
|
||
¡ |
|
|
2 |
0 |
|
2 |
1 |
|
||
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
||||
|
|
¯ |
|
|
|
¡ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯¡ |
|
|
|
|
¯ |
|
||
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
Замечаем, что во втором столбце уже есть два нулевых элемента. Прибавляя к третьей строке первую, получаем столбец с одним ненулевым элементом.
= |
¯¡1 |
0 |
1 |
¡3¯ |
+I |
= |
¯¡1 |
0 |
1 |
¡3¯ |
= |
||||||||
|
¯ |
1 |
1 |
0 |
1 |
¯ |
|
¯ |
5 |
0 |
1 |
4 |
¯ |
|
|||||
|
¯ |
4 |
¡1 |
1 |
3 |
¯ |
|
|
¯ |
4 |
¡1 |
1 |
3 |
¯ |
|
||||
|
¯ |
|
2 0 |
|
2 1 |
¯ |
|
|
¯ |
|
2 0 |
|
2 1 |
¯ |
|
||||
|
¯ |
|
|
|
¡ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¡ |
|
|
¯ |
|
|
¯¡ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯¡ |
|
|
|
|
¯ |
|
||||
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
Разложим определитель по второму столбцу, а определитель третьего порядка вычислим по правилу треугольников.
= ( 1)( |
1)1+3¯ |
5 |
1 |
4 |
¯= |
1 |
¡ |
8+30 |
6 |
5 |
¡ |
8 = 2: |
|
¡ ¡ |
¯ |
2 |
|
2 1 |
¯ |
¡ |
|
¡ |
¡ |
|
|||
|
¯ |
¡1 |
1 |
¡3 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯¡ |
¡ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
12
Группа В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 101. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить определитель шестого порядка: |
|
||||||||||||
¯ |
2 |
|
5 |
¡3 |
2 |
¡3 |
1 |
¯ |
|
|
|||
¯ |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2¯ |
|
|
|||
|
0 |
¡4 |
0 |
¡1 |
1 |
¡2 |
|
|
|
||||
¯¡ |
|
1 |
|
2 |
2 |
|
1 |
¡ |
|
¯ |
: |
|
|
¯ |
1 |
|
¡ |
¡ |
1 |
¯ |
|
|
|||||
¯ |
0 |
|
0 |
3 |
0 |
|
1 |
¯ |
|
|
|||
¯ |
|
|
2 |
¯ |
|
|
|||||||
¯ |
2 |
|
5 |
¡3 |
2 |
|
3 |
2 |
¯ |
|
|
||
¯ |
|
|
¯ |
|
|
||||||||
¯ |
|
|
|
¡ |
|
|
¡ |
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
Внимательно¯ |
анализируем определитель¯ |
на пред- |
|||||||||||
мет наличия кратных строк или столбцов. Таковых не обнаруживаем, но замечаем, что строки II и VI совпадают за исключением последнего элемента. Вычтем из шестой строки вторую.
¯ |
2 |
5 |
¡3 |
2 |
¡3 |
1 |
¯ |
|
|
|
||
¯ |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2¯ |
|
|
|
|
|
0 |
¡4 |
0 |
¡1 |
1 |
¡2 |
|
|
|
|
||
¯¡ |
|
1 |
2 |
2 |
1 |
¡ |
|
¯ |
|
= |
|
|
¯ |
1 |
1 |
¯ |
|
|
|
||||||
¯ |
0 |
0 |
¡3 |
0 |
¡ |
1 |
¯ |
|
|
|
||
¯ |
2 |
¯ |
|
|
|
|||||||
¯ |
2 |
5 |
¡3 |
2 |
3 |
2 |
¯ |
|
II |
|
||
¯ |
¯ |
|
|
|||||||||
¯ |
|
|
|
¡ |
|
¡ |
|
|
¯ |
¡ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
Применим¯ |
формулу разложения определителя¯ |
по ше- |
||||||||||
стой строке. Таким образом удается понизить определить на один порядок.
|
¯ |
2 |
5 |
¡3 |
2 |
¡3 |
1 |
¯ |
|
||
|
¯ |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2¯ |
|
|
|
|
0 |
¡4 |
0 |
¡1 |
1 |
¡2 |
|
|
||
= |
¯¡ |
|
1 |
2 |
2 |
1 |
¡ |
|
¯ |
= |
|
|
¯ |
1 |
1 |
¯ |
|
||||||
|
¯ |
0 |
0 |
¡3 |
0 |
¡ |
1 |
¯ |
|
||
|
¯ |
2 |
¯ |
|
|||||||
|
¯ |
0 |
0 |
¡ |
0 |
0 |
1 |
¯ |
|
||
|
¯ |
0 |
¯ |
|
|||||||
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
В полученном определителе пятого порядка третья строка состоит из единиц, причем первый элемент со знаком минус, остальные - со знаком плюс. Прибавим первый столбец ко всем остальным.
|
|
|
|
|
|
¯ |
2 |
|
5 |
¡3 |
2 |
|
¡3 |
|
¯ |
||
= ( |
|
1)6+6 |
¯ |
|
1 |
+I |
+I |
+I |
+I |
|
¯= |
||||||
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
¡4 |
0 |
¡1 |
1 |
|
¯ |
||||
¡ |
|
|
|
|
¯¡ |
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
¯ |
1 |
|
|
¡ |
|
¯ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
¯ |
0 |
|
0 |
¡3 |
0 |
|
|
|
¯ |
||
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
2 |
|
¯ |
||||||
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
Далее применим формулу¯ |
разложения определителя¯ |
||||||||||||||||
по третьей строке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
¯ |
2 |
|
7 |
|
¡1 |
4 |
¡1 |
¯ |
|
|
|
|||
= ¯ |
|
1 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
¯ = |
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
¡4 |
|
0 |
¡1 |
1 |
¯ |
|
|
|
|||
|
|
|
¯¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
¯ |
0 |
|
0 |
|
¡3 |
0 |
2 |
¯ |
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|||
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¯ |
|
|
¯ |
|
|
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||||||||
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¯ |
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¡ |
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¯ |
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¯ |
1 |
|
2 |
|
3 |
0 |
¯ |
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||||
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¯ |
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1 |
¯ |
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|||||||
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¯ |
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4 |
0 |
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1 |
¯1 |
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= ( |
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1)( |
1)3+1 |
7 |
1 |
4 |
¡1¯ |
= |
||||||||
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|
¡ |
|
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¡ |
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|
¡ |
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¡3 |
0 |
2 |
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|||||
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¯ |
¯ |
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||||||
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¯ |
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Получившийся определитель четвертого порядка приводим к треугольному виду. Для этого поменяем местами первый и четвертый столбцы, что изменит его знак в соответствии со свойством 2, затем ко второй строке прибавим первую, а из четвертой строки
вычтем две первых. В первом столбце ниже первого элемента получены все нули. Далее из третьей строки вычитаем вторую, а из четвертой строки вычитаем вторую строку, умноженную на 3.
= |
¯¡1 1 4 |
7 |
¯ |
+I |
= |
¯0 |
¡1 3 |
3 |
¯ |
II |
= |
|||||||
|
¯ |
0 |
¡1 |
3 |
2 |
¯ |
|
|
|
|
¯0 |
1 |
3 |
2 |
¯ |
|
||
|
¯ |
1 |
0 ¡1 ¡4 |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
1 |
0 ¡1 ¡4 |
¯ |
|
|
||||
|
¯ |
2 |
¡3 |
0 |
0 |
¯ |
|
2I |
|
¯0 |
¡3 |
2 |
8 |
¯ |
¡3II |
|
||
|
¯ |
|
¡ |
|
|
¯ |
¡ |
|
|
|
¯ |
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¡ |
|
|
¯ |
¡ |
|
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¯ |
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¯ |
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¯ |
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||||
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¯ |
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¯ |
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¯ |
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¯ |
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Меняем¯ |
местами третью¯ |
и четвертую¯ строку, в¯резуль- |
||||||||||||||||
тате чего получаем определитель треугольного вида, который равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. Учтем также знак минус (свойство 2), который появился перед определителем после последней перестановки строк.
= |
¯0 ¡1 |
3 |
3 |
¯ |
= |
|
¯0 ¡1 3 |
3 |
¯ |
= 7: |
|||||
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¯0 0 |
0 |
1¯ |
|
|
¯0 0 |
7 |
|
1¯ |
|
|||||
|
¯ |
1 0 ¡1 ¡4 |
¯ |
|
|
¯ |
1 0 ¡1 |
¡4 |
¯ |
|
|||||
|
|
|
7 |
|
|
¡ |
|
¡ |
¡ |
|
|
||||
|
¯0 0 |
|
¡1¯ |
|
|
¯0 0 0 |
|
1¯ |
|
||||||
|
¯ |
|
¡ |
|
¡ |
¯l |
|
|
¯ |
|
|
¡ |
|
¯ |
|
|
¯ |
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|
¯ |
|
|
¯ |
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|
|
¯ |
|
|||
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¯ |
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¯ |
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¯ |
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¯ |
|
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¯ |
|
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¯ |
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¯ |
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|
¯ |
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