12. Свойства спектральной плотности.

a) Спектральная плотность действительного стационарного случайного процесса является чётной действительной функцией аргумента , т.е.

s_x() = – s_x(–), Im s_x() = 0 – мнимая часть.

б) Дисперсия действительного стационарного случайного процесса равна интегралу от спектральной плотности этого процесса в бесконечных пределах:

.

в) Спектральная плотность стационарного случайного процесса – функция неотрицательная, т.е.

.

Зная спектральный состав случайного процесса, можно рационально конструировать системы различного назначения. Например, сенсорное устройство.

Рис. 4.10. Спектральная плотность сенсорного устройства

[₁, ₂] – чувствительность сенсорного устройства.

13. Корреляционные функции и спектральные плотности типовых стационарных процессов.

1. Белый шум - это центрированный случайный процесс X(t) с некоррелированными сечениями. Следовательно, по определению, корреляционная функция белого шума: .

Используя формулу Винера-Ханчина, получаем спектральную плотность:

Корреляционная функция и спектральная плотность белого шума:

2. Формирующий фильтр. Из белого шума можно получить случайный процесс с заданными характеристиками, пропуская через апериодическое звено.

Экспоненциальная корреляционная функция: .

Спектральная плотность:

Корреляционная функция и спектральная плотность:

3. Нерегулярная качка - случайное движение объекта под действием нерегулярных возмущений. Корреляционная функция нерегулярной качки:

.

По формуле Винера-Ханчина определим спектральную плотность:

Графики корреляционной функции и спектральной плотности:

4. Гармонический сигнал. .

Корреляционная функция и спектральная плотность гармонического сигнала:

Графическое изображение:

5. Периодический сигнал, разлагаемый в ряд Фурье. .

Спектральная плотность данного сигнала описывается выражением:

.

Графическое изображение представлено на рис:

14. Представление случайного процесса в виде канонического разложения. Интегральное каноническое представление случайного процесса. Полиномиальное представление случайного процесса.

1. Представление случайного процесса в виде канонического разложения Каноническое разложение корреляционной функции случайного процесса X(t):

Каноническое разложение было предложено В. С. Пугачёвым. Частным случаем канонического разложения случайного процесса является разложение его в ряд Фурье по гармоникам со случайными амплитудами:

, (2)

где Z_k, V_k – некоррелированные центрированные случайные величины (амплитуды колебаний).

Каноническим разложением является также входящая в (2) случайная синусоидальная функция частоты  (гармоника).

. (3)

Для стационарного случайного процесса X(t) корреляционная функция имеет вид

. (4)

Выражение (4) является каноническим разложением корреляционной функции.

При использовании канонического разложения значительно упрощается выполнение различных операций над случайными функциями (дифференцирование, интегрирование, решение линейных дифференциальных уравнений и т.п.).