34. Линеаризация нелинейностей разложением в ряд.

Линеаризация нелинейностей состоит в приближенной замене нелинейной функциональной зависимости линеаризованной, связывающей входную и выходную переменные.

Если нелинейность описывается однозначной дифференцируемой функцией, то при случайном входном сигнале она может быть приближенно заменена рядом Тейлора относительно математического ожидания входной переменной с точностью до первой степени ее центрированного значения.

_. (1)

Здесь – математическое ожидание случайной входной переменной .

– центрированная случайная составляющая.

Приближенная зависимость (1) линейна только относительно не линейна относительно и равноценна замене кривой мгновенной касательной к ней в точке .

Степень точности зависимости (1) может быть оценена по средней статистической величине отбрасываемых членов разложения в ряд.

Для многомерной дифференцируемой нелинейности линеаризованная зависимость следующая.

(2)

Пример 1

Нелинейность типа при после линеаризации разложением в ряд в окрестности принимает вид

_,

Пример 2

Нелинейность типа при после линеаризации разложением в ряд в окрестности принимает вид

35. Статистическая линеаризация нелинейностей.

Для линеаризации недифференцируемых нелинейностей, имеющих неоднозначные характеристики или точки разрыва, удобно применять т.н. статистическую линеаризацию, разработанную И.Е.Казаковым. Применима также, когда отклонения входной переменной от ее математического ожидания большие.

Статистическая линеаризация состоит в замене нелинейной зависимости линеаризованной, эквивалентной в вероятностном смысле.

Идея статистической линеаризации состоит в том, что линеаризованная зависимость должна с достаточной точностью определять полезный сигнал и уровень флуктуации на выходе нелинейного звена.

В результате статистической линеаризации зависимость между входной и выходной переменными нелинейного звена (1)

заменяется приближенной зависимостью вида _, (2)

– выходной полезный сигнал нелинейного звена, зависимость которого от входного полезного сигнала является статистической характеристикой нелинейного звена. – неслучайное.

– статистический коэффициент усиления нелинейного звена по случайной составляющей.

Первый способ состоим в выполнении условия равенства математических ожиданий и дисперсий истинной и аппроксимирующей зависимостей, т.е. ; (4)

Вычислив известными способами математическое ожидание и дисперсию случайной величины U по выражению (2), получим

(5)

На основании формул (3), (5) имеем

. (6)

из второго выражения (5) имеем

, (7) ,где ; (8)

Знак коэффициента определяется характером функции .

Если функция возрастает около точки , , иначе .

Условие (4) обеспечивает точный учет изменения нелинейным звеном полезного сигнала и уровня флуктуаций. При этом закон распределения выходного сигнала при статистической линеаризации в общем случае несколько искажается.

На основании этого способа возникает идея положить в основу метода статистической линеаризации другой принцип – минимум средней квадратической ошибки.

Второй способ определения параметров статистической линеаризации состоит в том, что входящие в выражение (2) и выбираются из условия

( -греческая буква) (9)

Подставляя в (9) выражение (2) ( ) и используя известные свойства математических ожиданий, получим следующее условие

(10)

При известных величина является функцией параметров и .

Приравнивая нулю частные производные функции по и , получим уравнения (11) (12)

Экстремум , . Уравнение (11) дает полученную ранее для формулу _. Из уравнения (12) имеем . (13)

Для вычисления величин по полученным формулам необходимо знать одномерную плотность вероятности входной переменной

Тогда формулы (5), (6), (7), (13) имеют вид

(14) (15)

(16)

(17)

где индексы вверху коэффициентов указывают способ линеаризации.

На практике оказывается возможным в сложных автоматических системах считать гауссовой, обозначив Закон распределения выходной переменной тем ближе к нормальному, чем инерционнее система (больше ее постоянная времени).

(18)

На основании (14), (18) имеем (19)

Если продифференцировать (19) по и сравнить с выражением (17), то получим

(20)

_.В практических расчетах можно использовать или .

Для повышения точности расчетов при четных нелинейностях

_. (21)