23. Определение установившейся дисперсии выходной переменной стационарной линейной системы (слс)

Для определения установившейся дисперсии выходной переменной (одномерной) СЛС воспользуемся формулой для установившегося значения случайной центрированной составляющей (23). Заменяя переменные интегрирования и пределы интегрирования, получаем (24). Дисперсию переменной выч. по формуле (25),где (26). Корреляционная функция стационарного случайного процесса связана со спектральной плотностью формулой преобразования Фурье. (27). Подставляя (27) в (25), получим (28). По определению (преобраз. Лапласа) . Тогда формула (28) принимает вид (29), где  – квадрат модуля частотной характеристики. В соответствии с формулой (29) установившаяся дисперсия выходного сигнала постоянна. С другой стороны, ранее была получена формула (30). Сравнивая правые части формул (29) и (30), получим связь спектральной плотности выходного сигнала со спектральной плотностью входного сигнала, действующего на стационарную систему с частотной характеристикой (31). Частотная характеристика физически возможной устойчивой системы, заданной, например, дифференциальными уравнениями, представляет собой дробнорациональную функцию частоты, т.е. (32), где  – полиномы относительно с постоянными коэффициентами. Спектральная плотность стационарного случайного процесса также может быть аппроксимирована или представлена в виде

(33), где  – полиномы относительно с постоянными коэффициентами. Из формул (32) и (33) следует, что при определенных условиях подынтегральное выражение в формуле (29) является дробнорациональной функцией и его можно привести к виду

(34),

где ;

.Подставляя выражение (34) в (29), приводим его к виду (35). Для интегралов составлены таблицы, при помощи которых их значения выражаются через параметры функций и Например, и т. д. Часто встречаются случаи, когда полоса пропускания стационарной системы мала по сравнению с шириной спектра возмущения (рис.).

В таких случаях оказывается возможным в формуле (29) функцию в пределах полосы пропускания заменить средним значением s₀ и вынести за знак интеграла. При этом (36), где (37).Величина называется эффективной полосой пропускания системы. Заметим, что применение формулы (36) вместо (29) равноценно замене реального возмущения белым шумом.

24. Критерии оптимальности автоматических систем.

Оптимальная автоматическая система в отличие от неоптимальной обладает наиболее высокой эффективностью при заданных ограничениях.

В состав ограничений входят заданная структура системы, диапазоны условий применения и другие элементы.

Понятие оптимальной системы, выбранный критерий эффективности или критерий качества имеют экстремальное значение- минимум или максимум в зависимости от смысла.

Условием оптимальности стохастической автоматической системы в целом может быть максимум вероятности выполнения ей своего предназначения (событие – получение максимальной производительности, прибыли и т. д.)

(4.1)

Для оптимальных систем обнаружения критерий оптимальности – минимум ошибки обнаружения цели

(4.2)

или минимум ошибки обнаружения цели при заданной вероятности ложной тревоги (критерий Неймана-Пирсона):

. (4.3)

Если на автоматическую систему действуют одновременно полезный сигнал и помеха, то возникает задача оптимального расчёта системы для получения наименьшей результирующей ошибки.

С точки зрения наилучшего воспроизведения полезного сигнала система должна иметь возможно большую полосу пропускания, а с точки зрения наилучшего подавления помехи система, наоборот, должна иметь меньшую полосу пропускания. Критерием получения оптимального решения здесь будет минимальное значение результирующей ошибки системы, определяемой полезным сигналом и помехой.

Для случайных величин наиболее просто определить среднеквадратичную ошибку, поэтому её и используют для оценки точности автоматической системы.

Минимум среднеквадратичной ошибки определяется выражением

, (4.4)

где  – выходной сигнал системы;  – требуемый выходной сигнал;  – символ математического ожидания.

Определением характеристик систем по заданным критериям оптимальности занимается теория оптимальных систем.

Так как критерии оптимальности различны по физическому смыслу и математическому описанию, то и методы расчёта оптимальных систем различны.