Билет №8

1. Методы построения фазовых портретов нелинейных систем. (смотри билет №7)

2. Второй метод оценки устойчивости динамических систем а. М. Ляпунова.

Для использования метода оценки устойчивости А.М. Ляпунова необходимо:

1. Составить мат. модель динамики системы

2. Записать эту мат. модель в отклонениях от того состояния равновесия или процесса, устойчивость которого мы хотим оценить

3. Из полученной в п. 2) мат. модели получить модель собственных движений (для этого нужно приравнять 0 все выходные воздействия)

4. Представить полученную в п. 3) модель в форме Коши, т.е. в виде:

Введем следующие определения. Будем называть любую функцию V(x₁,x₂,...,x_n), удовлетворяющую условию V(0,0,...,0)=0, будем называть ее ф. Ляпунова. При этом различают функции Ляпунова знакоопределенные, знакопостоянные, знакопеременные.

Знакоопределенной она будет называться, если она будет принимать значение, равное 0, если , а во всех других точках пространства состояния будет иметь один и тот же знак (если положительный знак => то знакоопределенная положительная, если отрицательный – знакоопределенная отрицательная).

Знакопостоянной называется функция, которая в пространстве состояний сохраняет всюду свой знак, но может обращаться в 0 не только в начале координат.

5. Подбираем какую-либо знакоопределенную функцию Ляпунова

6. Вычисляем для выбранной функции производную по времени:

7. Оцениваем к какому классу (знакоопред., знакопостоян. или знакоперемен.) относится полученная функция и соответствует ли она критерию А.М. Ляпунова.

Формулировка критерия а.М. Ляпунова (по его первому методу).

Состояние равновесия или процесс в динамической системе, собственные движения которой относительно этого состояния или процесса, описывается уравнением (1), будет устойчивым, если имеется такая знакоопредел. функция V(x₁,x₂,...,x_n), что ее производная по времени тоже будет знакоопред. функцией, но со знаком, противоположному знаку функции V. При этом оцениваемое на устойчивость состояния равновесия или процесс будут устойчивы асимптотически.

Если исследование функции W покажет, что она знакопостоянная и имеет знак, противопол. V, то в некоторых ситуациях это будет признаком устойчивости анализируемого состояния или процесса, но не асимптотической устойчивости.

Билет 9

1. Метод градиента и метод наискорейшего спуска (подъема) в задачах поиска экстремума заданного функционала качества сау.

К градиентным методам относятся: 1)градиентный метод; 2)метод наискорейшего спуска(подъема). В основе этих методов лежит измерение в процессе поиска экстремума градиента Q(U). Рассмотрим:

Градиент направлен в любой точке пространства Q(U) в направлении наибольшего изменения величины Q, и это направление ортогонально в плоскости U1 , U2 касательной к линии равного значения Q, проходящего через эту точку

Реализация данного метода затруднена в САУ из-за сложности вычисления градиента

Q(U){gradQ(U)} в каждый момент времени. Поэтому в технических системах метод градиента чаще реализуют потактно и длительность такта принимают равным времени, необходимым для определения градиента.

Метод наискорейшего спуска(подъема): При этом методе из исходного состояния Q0 U0 делается первый шаг в направлении градиента в исходной точке и в этом направлении происходит перемещение в плоскости Q(U)до тех пор, пока будет изменятся Q до своего экстремума. Если отыскиваем экстремум минимума, то до минимума Q в направлении изменения U, а если ищем максимум то, то до максимума Q, в этом направлении. В этой точке(локального экстремума) определяется новое направление градиента и ориентируется движение до очередного локального экстремума в этом направлении. Подобное движение продолжается до тех пор, пока не будет достигнут экстремум Q(U).

Движения к экстремумам будут взаимно перпендикулярны. Преимущество перед методом grad – не требуется непрерывно измерять величину градиента.Время поиска экстремума методом НС(П) м.б. как большим так и меньшим в сравнении с методом grad. Это зависит от характера ф-ии Q(U).