- •Общие способы решения инженерных задач и соответствующие вычислительные машины.
- •Неалгоритмический способ. Физическое моделирование.
- •Вариационные и векторные методы решения задач механики.
- •1.Метод конечных разностей
- •2. Интегрирующие матрицы
- •Плоская задача теории упругости
- •Колебания стержневых систем
- •Объемная задача теории упругости (solid)
- •Приведение объемных и поверхностных сил, а также начальных деформаций к эквивалентным узловым внешним силам.
Плоская задача теории упругости
Треугольный плоский элемент с тремя узлами
Предположим, что дискретная модель разработана. Элементы соединены друг с другом в узлах.
Выделим из дискретной модели КЭ с вершинами 1, 2, 3. Действие отброшенных элементов заменим усилиями. .
Так как положение КЭ в пространстве (на плоскости) определяется вектором узловых перемещений элемента , содержащим шесть компонентов узловых перемещений, то это позволяет предположить закон изменения по полю КЭ в виде:
(1)
- горизонтальное и вертикальное перемещения текущей точки КЭ.
Или:
, (2)
где - вектор перемещений.
(3)
.
Подстановка значений узловых координат в (2) дает:
, (4)
где
(5)
Отсюда (6)
Подставляя в (2), получаем связь между и :
, (7)
где .
Выражение (7) определяет распределение перемещений по полю элемента в зависимости от узловых перемещений и в развернутой форме имеет вид:
(8)
где - удвоенная площадь треугольного КЭ.
, (9)
Деформированное состояние элемента характеризуется вектором деформаций , компоненты которого определяются зависимостями Коши:
(10)
или в векторной форме с учетом (1) и (6):
(11)
где , (12)
получающаяся в результате дифференцирования выражения (1) по зависимостям Коши.
Развернутое выражение (11) получается из непосредственного дифференцирования выражений (8), т.е.:
(13)
или в матричной форме
(14)
где
Из сравнения выражений (11) и (14) видно, что
.
Напряженное состояние элемента определяется вектором напряжений , который на основании закона Гука ………. материала связан с зависимостью
, (16)
где - (17)
- матрица упругих характеристик материала.
Здесь , - модули нормальной упругости соответственно вдоль оси х и у;
- коэффициент Пуассона. характеризующий сокращение в направлении оси у при растяжении вдоль оси х;
- коэффициент Пуассона. характеризующий сокращение в направлении оси х при растяжении вдоль оси у;
- модуль сдвига плоскости ху.
Так как коэффициент Пуассона и модули нормальной упругости должны удовлетворять соотношению = , то матрица симметрична.
Если исключить теперь с помощью (11) вектор из (16), то получим выражение, определяющее напряжения в КЭ по известным значениям его узловых перемещений
, (18)
где - матрица напряжений, развернутое выражение которой имеет вид
(19)
здесь .
Теперь, когда напряженное (18) и деформированное (11) состояние КЭ определяются через его узловые перемещения, можно определить матрицу жесткости КЭ.
Из теории упругости известно, что потенциальная энергия деформации КЭ определяется выражением
, (20)
где h – толщина КЭ,
или в матричной форме
(21)
Подставляя сюда (14) и (18) и учитывая правило транспортирования произведения матриц, получим:
(22)
где - (23)
- искомая матрица жесткости КЭ, которая устанавливает зависимость между узловыми усилиями и узловыми перемещениями КЭ, т.е.
(24)
Выражение изгибающих моментов и перерезывающих сил по длине элемента будут иметь вид с исправлениями (26):
Условия, действующие на элемент в узлах, будут:
при x = 0:
при x = l:
В результате получим выражения, совпадающие с (13а). Отличие состоит только в знаках во второй и третьей строках.
Это связанно с принятым правилом знаков в МКЭ и правилом знаков при выводе дифференциального уравнения в сопротивлении материалов.
(30)
Последнее слагаемое определяет внешнюю узловую нагрузку, эквивалентную внешней распределенной нагрузке.
Такие реакции возникают в жесткозаделанной балке.
Балочный элемент, работающий на изгиб и растяжение-сжатие в одной плоскости.
Для получения МЖ призматического элемента вводится система координат xoy и общая система координат XOY
Элемент загружен узловыми усилиями , ориентированные в местной системе координат, и его положение определяется вектором перемещений , ориентированных также в местной системе координат.
Положение элемента полностью определяется шестью узловыми перемещениями, поэтому делается следующее предложение о законе измерения поперечного прогиба
(31)
И продольных деформаций вдоль оси элемента
, (32)
где - коэффициенты, подлежащие определению.
Использую (31) и (32) можно найти узловые перемещения
п ри х = 0: ; ; ;
при х = L: ; ;
Отсюда можно определить через узловые перемещения
или в развернутом виде:
(35)
Потенциальная энергия деформации элемента в случае совместных изгибных и продольных деформаций имеет вид:
(36)
где с учетом (31) и (34)
(37)
(38)
или
(39)
(40)
Подставив (39) и (40) в (36), получим
(41)
Где (42)
- искомая матрица жесткости плоского блочного элемента в местной системе координат.
Производя интегрирование и перемножение матриц в (42), получим окончательное выражение матрицы жесткости призматического элемента в местной системе координат.
(43)
Матрицу жесткости (43) можно использовать в расчетах балочных конструкций, если направление общей системы координат совпадает с направлением местной системы (например, прямолинейная балка). Однако в реальных конструкциях (например, шпангоутная рама) элементы имеют различную ориентацию. Поэтому необходимо иметь матрицу жесткости в общей системе координат, тоесть узловые усилия и перемещения должны быть ориентированы как показано на рисунке. Для этого необходимо выразить узловые перемещения в местной системе через узловые перемещения в общей системе координат
(44)
или (45)
где – матрица преобразования координат (матрица направляющих косинусов). Она является ортогональной, так как ;
; – направляющие косинусы продольной оси элемента относительно осей и .
– длина элемента;
координаты узлов элемента в общей системе координат.
Подставляя (45) в (41), получим потенциальную энергию элемента через его узловые перемещения в общей (глобальной) системе координат:
(46)
Отсюда получаем матрицу жесткости в общей системе координат через матрицу жесткости в местной системе координат:
(47)
Чтобы оценить прочность КЭ, необходимо распологать знаниями его внутренних усилий, выраженных через узловые перемещения в общей системе координат. Это соотношение можно получить, если подставить (45) в (13):
(48)
Где матрица усилий, развернутое выражение которой имеет вид:
Определение эквивалентной узловой нагрузки
Пусть произвольно ориентированный элемент загружен поперечной нагрузкой. Требуется определить эквивалентную узловую нагрузку в общей системе координат.
Для определения воспользуемся принципом возможных перемещений, на основании которого можно записать:
(49)
Т.е. работа эквивалентной узловой нагрузки на возможных перемещениях узлов равна работе распределенной нагрузки по длине элемента на возможных перемещениях его сечений.
Здесь – перемещение сечений перпендикулярных оси КЭ.
Выражение (31) можно записать как:
(50)
Или с учетом (34) т.е. функция прогиба через узловые перемещения в местной системе. Если сравнить с (28), то видно, что в произведении заложены функции Эрмита при изгибе.
т.е. функция прогиба через узловые перемещения в глобальной (общей) системе координат.
Подставим вариацию перемещений сечений в (49).
Здесь учтено, что матрицы и от не зависят
В результате, после сокращения на , получим выражение узловых эквивалентных усилий в глобальной системе координат
(51)
В случае, если на КЭ действует равномерно-распределенная нагрузка , то
При принятом правиле знаков для