- •Общие способы решения инженерных задач и соответствующие вычислительные машины.
- •Неалгоритмический способ. Физическое моделирование.
- •Вариационные и векторные методы решения задач механики.
- •1.Метод конечных разностей
- •2. Интегрирующие матрицы
- •Плоская задача теории упругости
- •Колебания стержневых систем
- •Объемная задача теории упругости (solid)
- •Приведение объемных и поверхностных сил, а также начальных деформаций к эквивалентным узловым внешним силам.
1.Метод конечных разностей
Для сведения дифференциального уравнения к разностному необходимо знать выражения для производных через искомые функции в точках регулярной или нерегулярной сетки.
Пусть задана некоторая функция U(x), область определения которой разбита произвольным образом на конечные отрезки. Если hi=const, то одномерная сеточная область будет регулярной (hi=h<<1).
Запишем разложение в ряд Тейлора функции в области точки :
(62)
Отсюда найдем:
(63)
или (64)
где - малая величина порядка .
Выражение (64) есть разностное соотношение вперед для первой производной с порядком аппроксимации и равное tg .
Запишем значение через и через ряд Тейлора
(65)
По аналогии с (63) и (64) найдем:
(66)
или (67)
(67)- аналогично, разностное соотношение назад для первой производной с порядком аппроксимации и равное tg .
Сложим и разделим на два выражения (63) и (66). Тогда получим
или – центральное конечно-разностное соотношение для первой производной с порядком аппроксимации hi, равное .
В случае регулярной сетки ( i= i+1= ) выражения (64), (67) и (68) запишутся:
= + );
= + ); (69)
= + );
Из (69) следует, что центральное конечно-разностное соотношение имеет более высокий порядок аппроксимации.
Конечно-разностное соотношение для второй производной получим, если из (63) вычтем (66) и выразим отсюда . В результате получим
= [ - ]+0(h) (70)
В случае регулярной сетки (hi= hi+1=h)
(71)
Используя конечно-разностные соотношения для можно получить соотношения для 3-й, 4-й и т.д. производных. При hi=h=const имеем:
В случае многомерных областей уравнения векторной механики выражаются через дифференциальные уравнения в частных производных.
Для прямоугольной сетки с h1=const и h2=const конечно-разностные соотношения смешанных производных имеют вид:
Пример: Определить прогибы и изгибающие моменты в балке переменного поперечного сечения.
Дифференциальное уравнение изгиба балки имеет вид
(72)
Граничные условия при x=0 при x=l
Введем обозначение
- изгибающий момент.
Тогда вместо (72) получим систему 2-х уравнений:
(73)
Запишем эту систему для узлов сетки балки, в которых неизвестны М или W, используя конечно-разностные отношения.
Учтем граничные условия:
и , что позволяет исключить из системы (74) законтурное значение прогиба .
В матричной форме система (74) записывается:
(75) Где ;
, - диагональные матрицы.
Подставим второе уравнение (75) в первое. Получим:
,где (76)
.
Выражение (76) определяет систему линейных уравнений относительно вектора перемещений .Найдя с помощью второго уравнения (75) можно определить вектор изгибающих моментов .