4.4. Приемы минимизации размеров матриц.

4.4.1. Способ вычеркивания в матрицах нулевых строк.

Внимательное рассмотрение направляющей и грузовой матриц показывает, что строки с номерами 1 и 11 одновременно в обеих матрицах имеют нулевые значения. В таком случае эти строки можно вычеркнуть из сравниваемых матриц, а из матрицы податливости вычеркнуть не только строки с этими номерами, но и соответствующие столбцы.

Возможность применения такого приема основана на том, что в указанных сечениях изгибающий момент существовать не может (нет соответствующих внутренних и (или) внешних связей, нет внешнего сосредоточенного момента).

Такая операция позволяет уменьшить размеры матриц до соответственно 9×2, 9×1 и 9×9. В результате получаем:

; ;

.

4.4.2. Способ вычеркивания в матрицах одной из пары одинаковых строк.

В направляющей и грузовой матрицах также можно выделить пары строк, состоящие из одинаковых элементов, причем эти строки должны соответствовать смежным сечениям на схеме дискретизации (рис. 3.21). Такими строками является пара 6–7. В этой паре одну из строк (например, строку 7) можно вычеркнуть из обеих матриц.

Возможность применения этого приема основана на том, что наложенные на соответствующую точку внутренние связи (в отсутствии внешнего сосредоточенного момента) не разрешают возникновение неуравновешенного внутреннего изгибающего момента в силу совместной работы сечений этой точки оси.

Но эти строки (и столбцы) нельзя вычеркивать из матрицы ! С этой матрицей поступают иначе: цифры, находящиеся на пересечении строк и столбцов с соответствующими номерами складывают, а результат размещают в строке с оставляемым номером (в примере – это строка 6), уменьшая тем самым размер и этой матрицы. Овалом выделены те элементы матрицы податливости, которые складываются при выполнении этой операции.

Таким образом, минимальные размеры матриц становятся, соответственно 8×2, 8×1 и 8×8.

В результате уменьшения размеров матриц способом вычеркивания одной из пары одинаковых строк получаем:

; ;

.

Совместность работы сечений, образующих точку оси расчетной схемы требует учета вклада в эту работу жесткости обоих смежных участков. Именно поэтому для матрицы податливости строки и столбцы с номерами из состава перечисленных пар складываются, а не удаляются.

4.5. Формирование канонической системы уравнений.

Определение коэффициентов и свободных членов канонической системы уравнений (формула (3.1)) в матричной форме реализуется по формулам (3.2):

; .

(3.2)

В соответствии с этими формулами необходимо выполнить следующие шаги:

1. Записать направляющую матрицу в транспонированном виде (расположение элементов столбцов в строки):

.

2. Умножить транспонированную направляющую матрицу на матрицу податливости :

.

3. Умножить полученную матрицу на направляющую матрицу – определение коэффициентов канонической системы уравнений (3.1).

.

4. Умножить полученную матрицу на грузовую матрицу – определение свободных членов канонической системы уравнений (3.1).

.

Теперь можно записать каноническую систему уравнений метода сил (3.1) в виде (3.3), который позволяет перейти к выбору метода решения полученной системы уравнений:

(3.3)

В нашем случае каноническая система уравнений метода сил будет выглядеть следующим образом:

или

Окончательно получаем:

(3.4)