4. Реализация матричной формы метода сил

Каноническая система уравнений метода сил определяется количеством лишних связей ( ) и записывается в виде:

или , где .

(3.1)

Коэффициенты и свободные члены канонической системы уравнений являются перемещениями. В рассматриваемой задаче – это перемещения от статической нагрузки двух видов: а) заданной нагрузки, приложенной к расчетной схеме; б) нагрузки в виде единичных значений реакций каждой из отброшенных связей.

Вычисление этих перемещений будем вести в матричной форме, для чего нужно составить схему дискретизации ЗРС на основе способа контролируемых сечений.

4.1. Разработка схемы дискретизации.

На рис. 3.21 приведена схема дискретизации, которая включает нумерацию контролируемых сечений и правило знаков ординат для каждого участка ЗРС.

К

Рис. 3.21

онтролируемые сечения назначаются по данным грузовой эпюры M (рис. 3.10) и направляющих эпюр (рис. 3.15) и (рис. 3.20). Так, участки с линейным законом изменения изгибающего момента (т. е. участки, свободные от нагрузки) задаются двумя неповторяющимися сечениями, а участки с параболическим законом изменения изгибающего момента (т. е. участки, загруженные распределенной нагрузкой) – тремя сечениями. Кроме того, если в узле сходится несколько участков, то сечение каждого из них должно иметь свой собственный номер.

На рис. 3.21 участки пронумерованы римскими цифрами, а контролируемые сечения – латинскими. Правило знаков принято так, чтобы “+” был снаружи и сверху, а “–” внутри и снизу.

4.2. Матричная форма представления направляющих и грузовой эпюр.

Элементами направляющей матрицы являются ординаты на направляющих эпюрах изгибающих моментов, взятые с учетом правила знаков, указанного на схеме дискретизации. Причем первый столбец этой матрицы построен по направляющей эпюре (рис. 3.15), а второй столбец – по направляющей эпюре (рис. 3.20). Количество строк в матрице соответствует числу контролируемых сечений на схеме дискретизации (рис. 3.21). Таким образом, размер направляющей матрицы равен 11×2 (11 строк и 2 столбца).

Грузовая матрица формируется по тем же правилам, но ее элементы являются ординатами на грузовой эпюре изгибающих моментов (рис. 3.10). Размер этой матрицы 11×1.

; .

4.3. Построение матрицы податливости.

Построение матрицы податливости также основано на схеме дискретизации, представленной на 3.21. Определяющими данными при этом являются количество участков и число контролируемых сечений на каждом из них в отдельности.

Формирование матрицы включает следующие шаги:

1. Составление матриц для всех участков:

; ; ;

; .

2. Определение наибольшего общего знаменателя для всех составленных матриц и приведение их к этому знаменателю:

; ; ;

; .

3. Внесение коэффициента при а в числителе каждой матрицы под знак матрицы путем перемножения его с каждым элементом стандартной матрицы – для линейного участка или – для параболического:

; ; ;

; .

Необходимо отметить, что получившиеся в итоге матрицы имеют общий множитель .

4. Составление матрицы податливости .

Полученные матрицы по порядку располагаем на диагонали матрицы , а общий для всех матриц множитель является множителем при матрице .

Таким образом, получаем матрицу податливости размером 11×11. Слева и сверху дана нумерация контролируемых сечений. Отсутствующие элементы матрицы имеют нулевые значения.

.