Задание д3

Подтвердить результаты, полученные в задании Д1, с помощью общих теорем динамики материальной точки.

Указания. В задании Д3 следует применить общие теоремы динамики материальной точки: теорему об изменении количества движения и теорему об изменении кинетической энергии.

Решение

Для изучения движения материальной точки на участке М₀В воспользуемся сначала теоремой об изменении кинетической энергии материальной точки

,

где - работа приложенных к движущейся точке сил, начальная скорость V₀ = 4,4 м/с.

Для подсчета работы сил, на рисунке покажем действующие на точку на участке М₀В силы

= =

Подставляя в выражение теоремы найденные величины, определим скорость в точке В

= = 2,72 м/с.

Зная скорость с помощью теоремы об изменении количества движения материальной точки

,

можно определить время движения точки вверх на участке М₀В. Запишем выражение теоремы в проекции на ось х

,

здесь - сумма проекций на ось Ах импульсов сил, действующих на движущуюся точку.

= ,

Подставляя в выражение теоремы найденные величины, определим время

= = 0,222 с.

Теперь рассмотрим движение материальной точки после удара о преграду вниз.

Ее скорость в точке А найдем с помощью теоремы об изменении кинетической энергии материальной точки

.

Вычислим работу действующих на материальную точку М сил на участке ВА

= = .

Подставляя в выражение теоремы найденные величины, определим скорость в точке А

= 4,87 м/с.

Зная скорость с помощью теоремы об изменении количества движения материальной точки в проекции на ось Вх₂ можно определить время движения точки вниз на участке ВА

,

здесь - сумма импульсов сил, действующих на движущуюся точку

= = .

Подставляя в выражение теоремы найденные величины, найдем время движения точки вниз на участке ВА

= = 0315 c.

Общее время движения точки = 0,222 + 0,315 = 0,537 с.

Полученные с помощью общих теорем динамики материальной точки результаты, полностью совпадают с результатами в задании Д1

Задание д5

Считать, что движение системы начинается из начального положения с ничтожно малой начальной скоростью под действием приложенного к стержню АВ постоянного по величине и направлению крутящего момента М_кр, который направлен так, что способствует увеличению угла . Полагая, что S = S₁ = const, получить буквенное выражение угловой скорости _АВ стержня АВ в том положении, при котором угол   ₁. Значения величин S₁ и взять из задания К1.

Указания. Для решения применить теорему об изменении кинетической энергии.

Р ешение

Запишем теорему об изменении кинетической энергии механической системы

Т₂ – Т₁= ,

здесь обозначено Т₁ и Т₂ - кинетические энергии системы соответственно в начальном и конечном положениях, и - суммы работ внешних и внутренних сил на рассматриваемом перемещении механической системы.

Кинетическая энергия системы в начальном положении равна нулю, так как в этом положении система находилась в покое (Т₁= 0). Кинетическая энергия механической системы в конечном (произвольном, определяемом углом φ) положении определяется суммой кинетических энергий стержня АВ и материальной точки М, кинетическая энергия кривошипа не учитывается (равна нулю), так как массой кривошипа по условию задания следует пренебречь.

Т₂ = Т_АВ + Т_М.

Стержень совершает плоскопараллельное движение, формула для вычисления кинетической энергии имеет вид

Т_АВ = + , 

где – скорость центра масс стержня, – момент инерции стержня относительно оси проходящей через его центр масс. Так как нужно получить буквенное выражение зависимости скорости от и , то сначала, как в задании К1, составим уравнения движения точки С₁, а затем найдем ее скорость.

Для вычисления квадрата скорости точки С₁ при координатном способе задания движения используют формулу

,

где - , проекции вектора скорости на оси координат

= ,

= .

Тогда

₌ =

Выражение угловой скорости стержня получено ранее (в задании К2) .

Момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси проходящей через центр масс С₁ стержня находится по формуле

, где = АВ.

Подставляя найденные выражения в формулу кинетической энергии стержня, получаем

Т_АВ = + .

Формула кинетической энергии для материальной точки М имеет вид .

Выражение квадрата скорости точки М ( ) получим, используя найденные в задании К1 проекции скорости точки на оси координат

= ,

.

Тогда

= +

Подставляя найденные выражения в формулу кинетической энергии точки, получаем

Т_М = .

Выражение кинетической энергии всей системы в конечном положении имеет вид

Т₂ =

В

G₁

ычислим сумму работ внешних сил действующих на механическую систему. Для этого на рисунке покажем внешние воздействия, к числу которых относятся силы тяжести , реакции внешних связей и .

Н

G₂

айдем работу каждой из сил в отдельности. Работы сил тяжести на заданном перемещении отрицательны

= ,

=

Работы сил реакций связей в точкe О равны нулю, так как все эти силы приложены в неподвижных точках (перемещения точек приложения сил равны нулю).

Работа крутящего момента М_кр положительна и вычисляется по формуле .

Выражение суммы работ внешних сил имеет вид

= .

Определим сумму работ внутренних сил механической системы.

= 0 (трением мы пренебрегаем, систему образуют абсолютно твердые тела).

После подстановки найденных выражений в формулу теоремы об изменении кинетической энергии и вынося , получим

=

= .

откуда