Решение
З
Fтр
N
G
адание Д1 относится ко второй (обратной) задаче динамики, решение которой осуществляется путем интегрирования дифференциальных уравнений движенияматериальной точки. Рассмотрим движение материальной точки вдоль стержня АВ вверх. Точка М совершает вдоль стержня прямолинейное движение, для его описания выберем ось х1, начало которой совместим с точкой А. Покажем силы действующие на материальную точку в ее произвольном положении на траектории: сила тяжести G, нормальная реакция N и сила трения Fтр.Составим дифференциальное уравнение движения точки вдоль оси Ах (в левой части уравнения записывается произведение массы точки на вторую производную от выбранной координаты по времени, в правой части уравнения – сумма проекций сил на выбранную ось)
Выразим силы через массу точки и ускорение свободного падения
,
.
Для нахождения нормальной реакции N спроецируем силы на ось Ау1, а, так как вдоль этой оси движения не происходит, имеет место уравнение равновесия сил
,
откуда
.
Подставив значения сил в дифференциальное уравнение движения, после сокращений, получаем
,
,
где С1 и С2 – постоянные интегрирования, которые находятся с помощью начальных условий. Время будем отсчитывать от нулевого значения, начиная с момента начала движения точки. Начальные условия имеют вид
,
м/с,
см
= 0,34 м.
Подставляя начальные
условия сначала в первый, а затем во
второй интегралы, найдем
,
.
Переписав первый (уравнение скорости)
и второй (уравнение движения точки)
интегралы с учетом найденных постоянных
интегрирования, получим
,
,
Имея зависимость
,
найдем время движения материальной
точки от положения М0 до точки В (в этот
момент времени координата х1 = MВ = 84 см
= 0,84 м). Для нахождения t решаем квадратное
уравнение
,
которое имеет два положительных,
действительных корня
=
;
с,
с.
В качестве искомой
величины выбираем время
с,
так как анализ рассматриваемого
физического процесса позволяет сделать
вывод о том, что время
с
– это время, за которое материальная
точка М, двигаясь вдоль прямой АВ (не
заканчивающейся в точке В), достигает
наивысшего положения, а затем под
действием силы тяжести начинает движение
вниз и, двигаясь вниз, оказывается в
точке В.
Подставив в уравнение скорости время с, найдем скорость материальной точки при ударе о преграду В
= 2,73 м/с,
В
соответствии с условием задания найденная
скорость
= 2,73 м/с должна быть принята в качестве
начальной скорости для движения точки
вниз.
П
ереходим
к рассмотрению движения материальной
точки после удара о преграду в точке В
вниз. Выполним рисунок, на котором
покажем ось х2, направленную из точки В
вниз. Изобразим действующие на материальную
точку силы.
Составим дифференциальное уравнение движения точки
,
откуда после преобразований получим
.
Первый и второй интегралы от данного дифференциального уравнения имеют соответственно вид
,
,
где С3 и С4 – постоянные интегрирования. Время будем отсчитывать от нулевого значения с момента начала движения мат. точки от ее начального положения в точке В. Начальные условия имеют вид
,
м/с,
.
Подставляя начальные
условия сначала в первый, а затем во
второй интегралы, найдем, что
,
.
Переписав первый (уравнение скорости)
и второй (уравнение движения точки)
интегралы, с учетом найденных постоянных
интегрирования, получим
,
.
Подставляя начальные
условия сначала в первый, а затем во
второй интегралы, найдем, что
,
.
Переписав первый (уравнение скорости)
и второй (уравнение движения точки)
интегралы, с учетом найденных постоянных
интегрирования, получим
,
.
Найдем время
движения материальной точки от положения
В до А (в этот момент времени координата
х2 = АВ = 120 см = 1,2 м). При решении квадратного
уравнения
также имеем два корня
=
;
с,
< 0,
но так как время отрицательным (t < 0) быть не может, то корень < 0, не рассматриваем.
Подставив в уравнение скорости время с, найдем скорость материальной точки М в тот момент времени, когда она займет на стержне положение совпадающее с точкой А
= 4,85 м/с.
Общее
время движения точки
= 0,222+0,315 = 0,537 с