50. Неравенство Чебышева

Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа ɛ, не меньше чем 1-D(X)/ɛ²:

.

51. Теорема Чебышева

Если последовательность попарно независимых случайных величин X₁, X₂,…, X_n,… имеет конечные математические ожидания и дисперсии этих величин равномерно ограничены (не превышают постоянного числа C), то среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий, т. e., если ɛ − любое положительное число, то

В частности, среднее арифметическое последовательности попарно независимых величин, дисперсии которых равномерно ограничены и которые имеют одно и то же математическое ожидание а, сходится по вероятности к математическому ожиданию а, т. е. если ɛ − любое положительное число, то

52. Теорема Бернулли

Частость события в n повторных независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p, при неограниченном увеличении числа n сходится по вероятности к вероятности p этого события в отдельном испытании:

Смысл теоремы Бернулли состоит в том, что при большом числе п повторных независимых испытаний практически достоверно, что частость (или статистическая вероятность) события m/n — величина случайная, как угодно мало отличается от неслучайной величины p — вероятности события, т. е. практически перестает быть случайной.

53. Центральная предельная теорема (цпт)

ЦПТ − класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.

Пусть ɛ₁,…,ɛ_n,… − последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с конечной дисперсией. Обозначим Eɛ_i = a и Dɛ_i = σ² ˃ 0. Тогда

,

где − функция распределения стандартного нормального закона.

Обозначим S_n = ɛ₁+…+ɛ_n. Тогда ES_n = na, DS_n = nσ². Следовательно, утверждение ЦПТ может быть записано в виде

54. Элементы статистики. Понятие об оценке параметров

Установление закономерностей, которым подчи­нены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных — результатов наблюдений.

Задачи МС:

1. указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.

2. разрабо­тать методы анализа статистических данных в зависи­мости от целей исследования. Сюда относятся:

а) оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависи­мости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др.;

б) проверка статистических гипотез о виде неизвест­ного распределения или о величине параметров распре­деления, вид которого известен.

Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределённости.

Итак, задача математической статистики состоит в со­здании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

X – случайная величина, принимающая значения x1, x2,…, xn

Θ – неизвестный исследуемый параметр

Θ = f (x1, x2, …, xn)

F (X, Θ) – функция оценки параметра Θ

Сюда же можно включить определения из вопроса 58.