44. Функция распределения многомерной случайной величины

Функцией распределения n-мерной случайной величины (X₁, X₂,…, X_n) называется функция F(x₁, x₂,…, x_n), выражающая вероятность совместного выполнения n неравенств X₁<x₁, X₂<x₂, X_n<x_n, т. е.

F(x₁, x₂,…, x_n) = P(X₁ < x₁, X₂ < x₂, X_n < x_n).

В двумерном случае для случайной величины (X, Y) функция распределения F(x,y) определится равенством:

F(x, y) = P(X < x, Y < y)

Геометрически функция распределения F(x, y) означает вероятность попадания случайной точки (X, Y) в заштрихованную область — бесконечный квадрант, лежащий левее и ниже точки M(x, y). Правая и верхняя границы области в квадрант не включаются — это означает, что функция распределения непрерывна слева по каждому из аргументов.

В случае дискретной двумерной случайной величины ее функция распределения определяется по формуле:

где суммирование вероятностей распространяется на все i, для которых x_i < x, и все j, для которых y_i < y.

45. Плотность вероятности двумерной случайной величины.

Плотностью вероятности непрерывой двумерной случайной велечины (Х,У)

Называется вторая смешенная частная производная ее функций распределения, т.е.

46. Зависимые и независимые случайные величины.

Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того какое значение принимает другая случайная величина.

Условные распределения независимых случайных величин равны их безусловным распределениям.

47.Ковариация и коэффициент корреляции. Свойства.

Пусть X,Y — две случайные величины, определённые на одном и том же вероятностном пространстве. Тогда их ковариация определяется следующим образом:

cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]

Коэффициентом корреляции r_xy случайных величин Х и Y называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин.

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной. Коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю.

Свойство: Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин Х и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий.

Свойство: Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы.

Случайные величины называются коррелированными, если их корреляционный момент отличен от нуля, и некоррелированными, если их корреляционный момент равен нулю.

48 Закон больших чисел.

Закон больших чисел- модель бесконечных последовательных испытаний частота исходов сходитяся к некоторому определенному числу.Т.е. при бесконечном числе опытов,вероятность становится const.

49. Неравенство Маркова

Теорема. Если случайная величина X принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа A верно неравенство

Доказательство проведем для дискретной случайной величины X. Расположим ее значения в порядке возрастания, из которых часть значений x₁, x₂,…, x_k будут не более числа A, а другая часть — x_k+1,…, x_n будут больше A, т. е.

x₁ ≤ A, x₂ ≤ A,…, x_k ≤ A; x_k+1 ˃ A,…, x_n ˃ A

Запишем выражение для математического ожидания М(Х):

x₁p₁ + x₂p₂ +…+x_kp_k + x_k+1p_k+1+…+x_np_n = M(X),

где p₁, p₂,…, p_n — вероятности того, что случайная величина X примет значения соответственно x₁, x₂,… x_n.

Отбрасывая первые k неотрицательных слагаемых (напомним, что все x_i ≥ 0), получим

x_k+1p_k+1 +…+x_np_n ≤ M(X).

Заменяя в неравенстве значения x_k+1,…, x_n меньшим числом A, получим более сильное неравенство

.

Сумма вероятностей в левой части полученного неравенства представляет собой сумму вероятностей событий X = x_k+1,…, X=x_n т.е. вероятность события X ˃ A. Поэтому .

Так как события X > А и X ≤ А противоположные, то заменяя Р(Х>А) выражением 1-Р(Х ≤ А), придем к другой форме неравенства Маркова:

.

Неравенство Маркова применимо к любым неотрицательным случайным величинам.