59. Оценка вероятности по относительной частоте. Доверительный интервал.

Пусть производятся независимые испытания с неизвестной вероятностью p появления события A в каждом испытании. Требуется оценить неизвестную вероятность p по относительной частоте, т. е. надо найти ее точечную и интервальную оценки.

Точечная оценка. В качестве точечной оценки не­известной вероятности p принимают относительную частоту:

W = т/п,

где т—число появлений события A, п—число испыта­ний.

Эта оценка несмещенная, т. е. ее математическое ожи­дание равно оцениваемой вероятности. Действительно, учитывая, что М (т)= пр, получим:

M (W) = M [m/п] = М (т)/п = пр/п = р.

Найдем дисперсию оценки, приняв во внимание, что D(m)= npq:

D (W) = D [т/п] = D (т)/п² = npq/n² = pq/n,

тогда среднее квадратическое отклонение находим по формуле:

σ=

Интервальная оценка. Найдем доверительный ин­тервал для оценки вероятности по относительной частоте.

Формула, позволяющая найти вероятность того, что аб­солютная величина отклонения не превысит положитель­ного числа б:

Р (|Х —а | < б) = 2Ф (б/а) (*),

где X —нормальная случайная величина с математи­ческим ожиданием М (Х) = а.

Если п достаточно велико и вероятность р не очень близка к нулю и к единице, то можно считать M(W) = p.

Таким образом, заменив в соотношении (*) случайную величину X и ее математическое ожидание а соответ­ственно случайной величиной W и ее математическим ожиданием р, получим приближенное равенство

P (| W—р | < б) = Ф(б/σ).

Построим доверительный интервал с надежностью γ:

P (| W—р | < б) = Ф(б/σ) = γ

Заменим σ ,

Тогда P (| W—р | < б) = Ф(б / ) = Ф(t) = γ,

Где t = б / ), откуда б = t /

Заменим в неравенстве случайную величину W на неслучайную наблюдаемую относительную частоту ω и заменим q=1-p, подставим выражение для б, получим:

|ω - p| < t / , раскрываем модуль, оценивая ω< p и ω>p получим p₁ и p₂ - промежутки для доверительного интервала.

Доверительный интервал.

Θ – Исследуемый параметр, Θ * - статистическая характеристика исследуемого параметра

| Θ - Θ *|<б – точность оценки

P (|Θ-Θ*|<б) = γ – точность( доверительная вероятность)

Доверительным называют интервал (Θ* - б; Θ* + б), который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью.

60. Оценка параметров в статистике

Пусть нам нужно изучить к-либо признак генеральной совокупности и мы теоретически знаем его тип распределения.

Обычно имеем: данные выборки (например, значения признака x1,x2,xn в результате n независимых испытаний).

61. Дисперсионный анализ. Однофакторный комплекс.

Основная идея: сравнения «факторной» дисперсии и «остаточной» (вызванная в результате случайных причин).

62. Корреляционный анализ. Регрессия.

Корреляционный анализ - метод, позволяющий обнаружить зависимость между несколькими с.в.

Допустим, проводится независимое измерение различных параметров у одного типа объектов. Из этих данных можно получить качественно новую информацию - о взаимосвязи этих параметров.

Н апример, измеряем рост и вес человека, каждое измерение представлено точкой в двумерном пространстве:

Н есмотря на то, что величины носят случайный характер, в общем наблюдается некоторая зависимость - величины коррелируют.

В данном случае это положительная корреляция (при увеличении одного параметра второй тоже увеличивается).

Возможны также такие случаи:

Регре́ссия - зависимость среднего значения к-либо величины от некоторой другой величины или от нескольких величин. В отличие от чисто функциональной зависимости y=f(x), при регрессионной связи одному и тому же значению x могут соответствовать в зависимости от случая различные значения величины y. Если при каждом значении x=x_i наблюдается n_i значений y_i1…y_in1 величины y, то зависимость средних арифметических и является регрессией.