1. Классическое определение вероятности и ее свойства

При классическом определении вероятность события определяется равенством Р(А) = m/n,где m — число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А; n — общее число возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы образуют полную группу и равновозможны.

Основные свойства вероятности. Пусть задано пространство элементарных событий Е, а вероятности Р определены на событиях из Е. Тогда:

2. Комбинаторные методы подсчета

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок P_n = n!,

где n! = 1 * 2 * 3 ... n.

Удобно рассматривать 0!, полагая, по определению, 0! = 1.

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

A^m_n = n (n - 1)(n - 2) ... (n - m + 1).

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний С ^m_n = n! / (m! (n - m)!).

Числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством .

Если некоторые элементы повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по другим формулам. Например, если среди n элементов есть n₁ элементов одного вида, n₂ элементов другого вида и т. д., то число перестановок с повторениями P_n (n₁, n₂, ...) = n! / (n₁! n₂! ... ), где n₁ + n₂ + ... = n.

3. Геометрический метод определения вероятности.

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Если предположить, что вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L, то вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

Р = Длина l/Длина L.

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Если предположить, что вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g, то вероятность попадания точки, в фигуру g определяется равенством Р = Площадь g/Площадь G.

Аналогично определяется вероятность попадания точки в пространственную фигуру v, которая составляет часть фигуры V: Р=Объем v/Объём V.

4. Статистическое определение вероятности.

Вероятность P(w_i) определяется как предел относительной частоты появления исхода w_i в процессе неограниченного увеличения числа случайных экспериментов n, то есть

где m_n(w_i) – число случайных экспериментов (из общего числа n произведенных случайных экспериментов), в которых зарегистрировано появление элементарного исхода w_i.

5.отличие классического и статического определений вероятности.

В отличие от классической вероятности P(A),статическая вероятность P'(A) есть доля тех фактических произведенных испытаний, в которых событие А появлялось.

6. Принцип практической невозможности маловероятных событий

Если случайное событие имеет очень малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит.

7. Понятие суммы событий. Достоверное, невозможное и противоположное событие.

Сумма событий –это событие, состоящее в наступлений хотя бы одного из данных событий.

(События А и Б,сумма их – это А или Б или А и Б)

Достоверное – это событие,если в результате испытания оно обязательно должно произойти P=1.

Невозможное – это событие,если в результате испытаний оно не может произойти P=0.

Событие, противоположное событию A, обозначается как и состоит в том, что в результате испытания A не произошло. Например, в нашем случае значит, что на кубике A выпало число, не равное 1.